Номер 15, страница 122 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 16. Комбинации цилиндра и сферы, конуса и сферы. Глава 2. Тела вращения - номер 15, страница 122.

Условие.

16.15. Образующая усечённого конуса равна $2\sqrt{3}$ см, а радиус меньшего ос-нования $-$ $\sqrt{3}$ см. Найдите радиус сферы, описанной около данного усечённого конуса, если угол между его образующей и большим основанием равен $60^{\circ}$.

Решение 1.

Решение 3.

Для решения задачи рассмотрим осевое сечение усеченного конуса. Такое сечение представляет собой равнобокую трапецию, вписанную в большой круг описанной сферы. Радиус этого круга и будет искомым радиусом сферы.

Пусть осевое сечение — это трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания (диаметры оснований конуса), а $AB$ и $CD$ — боковые стороны (образующие конуса). Пусть $R$ и $r$ — радиусы большего и меньшего оснований соответственно, $l$ — длина образующей, $h$ — высота конуса.

Из условия задачи нам дано:

• длина образующей $l = AB = 2\sqrt{3}$ см;
• радиус меньшего основания $r = \sqrt{3}$ см;
• угол между образующей и плоскостью большего основания $\alpha = 60^\circ$. В осевом сечении это угол $\angle DAB$.

1. Нахождение размеров трапеции

Проведем высоту $BH$ из вершины $B$ на основание $AD$. В прямоугольном треугольнике $ABH$ имеем:

Высота трапеции (и усеченного конуса) $h = BH = AB \cdot \sin(\alpha) = 2\sqrt{3} \cdot \sin(60^\circ) = 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3$ см.

Отрезок $AH$ равен разности радиусов оснований: $AH = R - r$.

Из того же треугольника $ABH$ находим $AH = AB \cdot \cos(\alpha) = 2\sqrt{3} \cdot \cos(60^\circ) = 2\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{3}$ см.

Теперь можем найти радиус большего основания $R$:

$R = r + AH = \sqrt{3} + \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Таким образом, основания трапеции равны:

$BC = 2r = 2\sqrt{3}$ см.

$AD = 2R = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ см.

2. Нахождение радиуса описанной сферы

Радиус $R_{сф}$ сферы, описанной около усеченного конуса, равен радиусу окружности, описанной около его осевого сечения — трапеции $ABCD$. Этот радиус можно найти как радиус окружности, описанной около треугольника $ABD$.

Найдем длину диагонали $BD$ трапеции. В прямоугольном треугольнике $BHD$ катет $BH = h = 3$ см, а катет $HD$ равен:

$HD = AD - AH = 4\sqrt{3} - \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$ см.

По теореме Пифагора:

$BD^2 = BH^2 + HD^2 = 3^2 + (3\sqrt{3})^2 = 9 + 27 = 36$.

$BD = \sqrt{36} = 6$ см.

Теперь используем следствие из теоремы синусов для треугольника $ABD$ для нахождения радиуса описанной окружности $R_{сф}$:

$\frac{BD}{\sin(\angle DAB)} = 2R_{сф}$

Отсюда:

$R_{сф} = \frac{BD}{2\sin(\angle DAB)} = \frac{6}{2\sin(60^\circ)} = \frac{6}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Ответ: $2\sqrt{3}$ см.