Номер 21, страница 122 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 16. Комбинации цилиндра и сферы, конуса и сферы. Глава 2. Тела вращения - номер 21, страница 122.

Условие.

16.21. Угол между образующей усечённого конуса и плоскостью большего основания равен $\alpha$. Найдите радиус шара, вписанного в данный усечённый конус, и радиусы оснований усечённого конуса, если его образующая равна $b$.

Решение 1.

Решение 3.

Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса. Такое сечение представляет собой равнобокую трапецию, в которую вписана окружность (являющаяся сечением вписанного шара). Обозначим радиусы большего и меньшего оснований конуса как $R$ и $r$ соответственно, длину образующей – $b$, а высоту конуса – $H$.

Основаниями трапеции служат диаметры оснований конуса, то есть их длины равны $2R$ и $2r$. Боковые стороны трапеции равны образующей $b$. Угол между образующей и плоскостью большего основания – это угол $\alpha$ между боковой стороной трапеции и её большим основанием.

Проведём в трапеции высоту из вершины меньшего основания к большему. Образуется прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является образующая $b$, а катетами – высота конуса $H$ и отрезок, равный разности радиусов оснований, то есть $R-r$. Угол при основании этого треугольника, прилежащий к катету $R-r$, равен $\alpha$.

Из соотношений в этом прямоугольном треугольнике получаем:

$H = b \cdot \sin \alpha$

$R - r = b \cdot \cos \alpha$

Радиус шара, вписанного в данный усечённый конус

Высота усечённого конуса $H$ равна диаметру вписанного в него шара. Следовательно, радиус шара $r_{ш}$ равен половине высоты $H$.

$r_{ш} = \frac{H}{2} = \frac{b \sin \alpha}{2}$

Ответ: $\frac{b \sin \alpha}{2}$.

Радиусы оснований усечённого конуса

Поскольку в усечённый конус вписан шар, то в его осевое сечение (равнобокую трапецию) можно вписать окружность. Согласно свойству описанного четырёхугольника, суммы длин его противоположных сторон равны. Для нашей трапеции это означает, что сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон:

$2R + 2r = b + b = 2b$

Разделив обе части на 2, получаем первое уравнение: $R + r = b$.

Второе уравнение мы получили ранее из рассмотрения прямоугольного треугольника: $R - r = b \cos \alpha$.

Теперь необходимо решить систему из этих двух линейных уравнений с двумя неизвестными $R$ и $r$:

$\begin{cases} R + r = b \\ R - r = b \cos \alpha \end{cases}$

Сложим почленно эти два уравнения, чтобы найти $R$:

$(R + r) + (R - r) = b + b \cos \alpha$

$2R = b(1 + \cos \alpha)$

$R = \frac{b(1 + \cos \alpha)}{2}$

Теперь вычтем второе уравнение из первого, чтобы найти $r$:

$(R + r) - (R - r) = b - b \cos \alpha$

$2r = b(1 - \cos \alpha)$

$r = \frac{b(1 - \cos \alpha)}{2}$

Используя тригонометрические формулы половинного угла $1 + \cos \alpha = 2 \cos^2(\frac{\alpha}{2})$ и $1 - \cos \alpha = 2 \sin^2(\frac{\alpha}{2})$, можно представить полученные выражения в более компактном виде:

$R = \frac{b \cdot 2 \cos^2(\frac{\alpha}{2})}{2} = b \cos^2(\frac{\alpha}{2})$

$r = \frac{b \cdot 2 \sin^2(\frac{\alpha}{2})}{2} = b \sin^2(\frac{\alpha}{2})$

Ответ: радиус большего основания $R = \frac{b(1 + \cos \alpha)}{2}$, радиус меньшего основания $r = \frac{b(1 - \cos \alpha)}{2}$.