Номер 24, страница 122 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 16. Комбинации цилиндра и сферы, конуса и сферы. Глава 2. Тела вращения - номер 24, страница 122.

Условие.

16.24. Радиус шара, вписанного в конус, равен $r$. Образующую конуса видно из центра вписанного шара под углом $\alpha$. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Решение 1.

Решение 3.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi R L$, где $R$ — радиус основания конуса, а $L$ — его образующая. Чтобы найти $S_{бок}$, нам необходимо выразить $R$ и $L$ через заданные параметры: радиус вписанного шара $r$ и угол $\alpha$.

Рассмотрим осевое сечение конуса и вписанного в него шара. Сечением является равнобедренный треугольник, в который вписана окружность. Обозначим вершины треугольника $P$ (вершина конуса) и $A$, $B$ (концы диаметра основания). Центр вписанной окружности $O$ является центром вписанного шара и лежит на высоте конуса $PM$, где $M$ — центр основания. Радиус этой окружности равен $r$.

Таким образом, $PA = L$ — образующая конуса, $AM = R$ — радиус основания, $OM = r$ — радиус вписанного шара. Угол, под которым видна образующая $PA$ из центра шара $O$, — это $\angle POA = \alpha$.

Пусть $K$ — точка касания вписанного шара с образующей $PA$. Тогда $OK \perp PA$, и длина $OK = r$.

Рассмотрим треугольник $POA$. Его можно разбить на два прямоугольных треугольника: $\triangle OKP$ и $\triangle OKA$ (оба с прямым углом при вершине $K$).

1. В прямоугольном треугольнике $PMA$ обозначим половину угла при вершине конуса $\angle APM = \beta$. Тогда в прямоугольном треугольнике $OKP$, $\angle OPK = \beta$.

2. Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны. Из точки $A$ проведены касательные к вписанной окружности (сечению шара) — это $AM$ и $AK$. Следовательно, $AK = AM = R$.

Теперь найдем углы в треугольнике $POA$.В прямоугольном $\triangle OKP$ имеем $\angle POK = 90^\circ - \beta$.В прямоугольном $\triangle OKA$ тангенс угла $\angle AOK$ равен:$\tan(\angle AOK) = \frac{AK}{OK} = \frac{R}{r}$.

Угол $\alpha$ является суммой этих двух углов:$\alpha = \angle POA = \angle POK + \angle AOK = (90^\circ - \beta) + \angle AOK$.

Теперь выразим отношение $R/r$ через угол $\beta$. В осевом сечении центр вписанной окружности $O$ является точкой пересечения биссектрис. Рассмотрим большой прямоугольный треугольник $PMA$. $R = PM \cdot \tan(\beta)$. Высота $PM = PO+OM$. В $\triangle OKP$, $PO = \frac{OK}{\sin(\beta)} = \frac{r}{\sin(\beta)}$. Тогда $PM = \frac{r}{\sin(\beta)} + r = r\frac{1+\sin(\beta)}{\sin(\beta)}$.Следовательно, $R = r\frac{1+\sin(\beta)}{\sin(\beta)} \tan(\beta) = r\frac{1+\sin(\beta)}{\cos(\beta)}$.Тогда $\frac{R}{r} = \frac{1+\sin(\beta)}{\cos(\beta)}$. Используя формулы универсальной тригонометрической подстановки или формулы двойного угла:$\frac{R}{r} = \frac{1+\cos(90^\circ-\beta)}{\sin(90^\circ-\beta)} = \frac{2\cos^2(45^\circ-\beta/2)}{2\sin(45^\circ-\beta/2)\cos(45^\circ-\beta/2)} = \cot(45^\circ-\beta/2) = \tan(90^\circ - (45^\circ - \beta/2)) = \tan(45^\circ+\beta/2)$.

Итак, $\tan(\angle AOK) = \tan(45^\circ+\beta/2)$, откуда $\angle AOK = 45^\circ+\beta/2$.

Подставим это в формулу для $\alpha$:$\alpha = (90^\circ - \beta) + (45^\circ + \beta/2) = 135^\circ - \beta/2$.

Из этого соотношения выразим $\beta$ через $\alpha$:$\beta/2 = 135^\circ - \alpha \implies \beta = 270^\circ - 2\alpha$.

Теперь найдем $R$ и $L$ через $\alpha$.$R = r \cdot \tan(45^\circ+\beta/2) = r \cdot \tan(45^\circ + 135^\circ - \alpha) = r \cdot \tan(180^\circ - \alpha) = -r \tan(\alpha)$.(Геометрически, для существования такой конфигурации, угол $\alpha$ должен быть тупым, $90^\circ < \alpha < 135^\circ$, поэтому $\tan(\alpha)$ отрицателен, и радиус $R$ будет положительным).

Образующую $L$ найдем из $\triangle PMA$: $R = L \sin(\beta)$, откуда $L = \frac{R}{\sin(\beta)}$.$\sin(\beta) = \sin(270^\circ - 2\alpha) = -\cos(2\alpha)$.$L = \frac{-r \tan(\alpha)}{-\cos(2\alpha)} = \frac{r \tan(\alpha)}{\cos(2\alpha)}$.

Наконец, находим площадь боковой поверхности конуса:$S_{бок} = \pi R L = \pi (-r \tan(\alpha)) \left(\frac{r \tan(\alpha)}{\cos(2\alpha)}\right) = -\pi r^2 \frac{\tan^2(\alpha)}{\cos(2\alpha)}$.

Ответ: $S_{бок} = -\pi r^2 \frac{\tan^2(\alpha)}{\cos(2\alpha)}$