Номер 31, страница 123 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 16. Комбинации цилиндра и сферы, конуса и сферы. Глава 2. Тела вращения - номер 31, страница 123.

Условие.

16.31. Один из углов трапеции равен $30^\circ$, а боковые стороны трапеции перпендикулярны. Найдите меньшую боковую сторону трапеции, если её средняя линия равна 10 см, а одно из оснований – 8 см.

Решение 1.

Решение 3.

Для начала найдем длины оснований трапеции. Пусть основания равны $a$ и $b$. Средняя линия трапеции $m$ вычисляется по формуле $m = \frac{a+b}{2}$. По условию, $m = 10$ см, а одно из оснований, например $b$, равно 8 см. Подставим известные значения в формулу:

$10 = \frac{a+8}{2}$

$20 = a+8$

$a = 12$ см.

Итак, основания трапеции равны 8 см и 12 см.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD=12$ см и $BC=8$ см, и боковыми сторонами $AB$ и $CD$. По условию, боковые стороны перпендикулярны, то есть $AB \perp CD$. Это означает, что если мы продлим боковые стороны до их пересечения в точке $E$, то угол $\angle AED$ будет равен $90^\circ$.

Поскольку основания $BC$ и $AD$ параллельны, углы трапеции при большем основании, $\angle A$ и $\angle D$, являются острыми углами прямоугольного треугольника $\triangle ADE$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$, следовательно, $\angle A + \angle D = 90^\circ$. Углы при меньшем основании, $\angle B$ и $\angle C$, будут тупыми, так как $\angle B = 180^\circ - \angle A$ и $\angle C = 180^\circ - \angle D$.

Из условия известно, что один из углов трапеции равен $30^\circ$. Так как этот угол острый, он должен быть одним из углов при большем основании. Пусть $\angle A = 30^\circ$. Тогда $\angle D = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Теперь найдем длины боковых сторон. Проведем высоты $BH$ и $CK$ из вершин $B$ и $C$ на основание $AD$. $BHCK$ является прямоугольником, поэтому $HK = BC = 8$ см. Обозначим высоту трапеции как $h = BH = CK$.

Длина большего основания $AD$ равна сумме длин отрезков $AH$, $HK$ и $KD$:

$AD = AH + HK + KD$

$12 = AH + 8 + KD$

$AH + KD = 4$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$ с углом $\angle A = 30^\circ$:

$AB = \frac{BH}{\sin(30^\circ)} = \frac{h}{1/2} = 2h$

$AH = \frac{BH}{\tan(30^\circ)} = \frac{h}{1/\sqrt{3}} = h\sqrt{3}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CKD$ с углом $\angle D = 60^\circ$:

$CD = \frac{CK}{\sin(60^\circ)} = \frac{h}{\sqrt{3}/2} = \frac{2h}{\sqrt{3}}$

$KD = \frac{CK}{\tan(60^\circ)} = \frac{h}{\sqrt{3}}$

Подставим выражения для $AH$ и $KD$ в равенство $AH + KD = 4$:

$h\sqrt{3} + \frac{h}{\sqrt{3}} = 4$

Приводя к общему знаменателю, получаем:

$\frac{3h + h}{\sqrt{3}} = 4$

$\frac{4h}{\sqrt{3}} = 4$

$h = \sqrt{3}$ см.

Теперь, зная высоту, можем найти длины боковых сторон:

$AB = 2h = 2\sqrt{3}$ см.

$CD = \frac{2h}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2$ см.

Сравнивая длины боковых сторон $2\sqrt{3}$ см (что примерно равно $3,46$ см) и $2$ см, заключаем, что меньшая боковая сторона равна 2 см.

Ответ: 2 см.