Номер 29, страница 123 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 16. Комбинации цилиндра и сферы, конуса и сферы. Глава 2. Тела вращения - номер 29, страница 123.

Условие.

16.29. Вокруг шара описан усечённый конус, радиусы оснований которого равны 8 см и 18 см. Найдите длину линии, по которой шар касается боковой поверхности усечённого конуса.

Решение 1.

Решение 3.

Для решения задачи рассмотрим осевое сечение усечённого конуса и вписанного в него шара. В сечении мы получим равнобокую трапецию, в которую вписана окружность.

Пусть радиусы оснований усечённого конуса равны $r_1 = 8$ см и $r_2 = 18$ см.

Линия, по которой шар касается боковой поверхности усечённого конуса, является окружностью. Найдём радиус этой окружности, обозначим его $r_k$.

Рассмотрим осевое сечение — трапецию. Боковая сторона трапеции соответствует образующей конуса. Точка касания вписанной окружности делит боковую сторону на два отрезка. Длины этих отрезков, считая от вершин, равны радиусам прилежащих оснований. То есть, отрезки равны $r_1 = 8$ см и $r_2 = 18$ см.

Радиус искомой окружности касания $r_k$ можно найти как взвешенное среднее радиусов оснований. Более строго, радиус окружности касания для усечённого конуса, описанного вокруг шара, является средним гармоническим радиусов его оснований: $r_k = \frac{2 r_1 r_2}{r_1 + r_2}$

Подставим числовые значения в формулу: $r_k = \frac{2 \cdot 8 \cdot 18}{8 + 18} = \frac{288}{26} = \frac{144}{13}$ см.

Теперь, зная радиус окружности касания, мы можем найти её длину $L$ по стандартной формуле длины окружности $L = 2\pi r$. $L = 2\pi \cdot r_k = 2\pi \cdot \frac{144}{13} = \frac{288\pi}{13}$ см.

Ответ: $\frac{288\pi}{13}$ см.