Номер 25, страница 122 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 16. Комбинации цилиндра и сферы, конуса и сферы. Глава 2. Тела вращения - номер 25, страница 122.

Условие.

16.25. Наибольший угол между образующими конуса равен $90^\circ$. В конус вписан шар, радиус которого равен $R$. Найдите площадь полной поверхности конуса.

Решение 1.

Решение 3.

Рассмотрим осевое сечение конуса. Это равнобедренный треугольник, угол при вершине которого является наибольшим углом между образующими и по условию равен $90^\circ$. Следовательно, осевое сечение — это равнобедренный прямоугольный треугольник.

Пусть $r$ — радиус основания конуса, $h$ — его высота, а $l$ — длина образующей. В осевом сечении высота конуса $h$ является также медианой и биссектрисой. Она делит равнобедренный прямоугольный треугольник на два меньших равных прямоугольных треугольника. Угол между высотой и образующей равен половине угла при вершине, то есть $90^\circ / 2 = 45^\circ$.

В этом меньшем прямоугольном треугольнике, образованном высотой, радиусом и образующей, катетами являются высота $h$ и радиус основания $r$. Так как один из острых углов равен $45^\circ$, то этот треугольник также является равнобедренным. Отсюда следует, что $h = r$.

Образующая $l$ является гипотенузой в этом треугольнике. По теореме Пифагора: $l^2 = h^2 + r^2 = r^2 + r^2 = 2r^2$. Отсюда $l = r\sqrt{2}$.

Вписанный в конус шар в осевом сечении представляет собой окружность, вписанную в равнобедренный прямоугольный треугольник (осевое сечение). Радиус этой окружности равен радиусу шара $R$. Центр вписанной окружности лежит на высоте конуса.

Радиус $R$ вписанной в прямоугольный треугольник окружности можно найти по формуле $R = \frac{a+b-c}{2}$, где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза. Для треугольника осевого сечения катетами являются образующие $l$, а гипотенузой — диаметр основания $2r$. $R = \frac{l+l-2r}{2} = \frac{2l-2r}{2} = l - r$. Подставим сюда ранее найденное выражение для $l$: $R = r\sqrt{2} - r = r(\sqrt{2} - 1)$.

Выразим радиус основания конуса $r$ через радиус шара $R$: $r = \frac{R}{\sqrt{2} - 1} = \frac{R(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = \frac{R(\sqrt{2} + 1)}{2 - 1} = R(\sqrt{2} + 1)$.

Теперь найдем длину образующей $l$ через $R$: $l = r\sqrt{2} = R(\sqrt{2} + 1)\sqrt{2} = R(2 + \sqrt{2})$.

Площадь полной поверхности конуса вычисляется по формуле как сумма площади основания и площади боковой поверхности: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \pi r^2 + \pi r l = \pi r(r+l)$.

Подставим выражения для $r$ и $l$ в эту формулу: $S_{полн} = \pi \cdot R(\sqrt{2} + 1) \cdot (R(\sqrt{2} + 1) + R(2 + \sqrt{2}))$ $S_{полн} = \pi R^2 (\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} + 1 + 2 + \sqrt{2})$ $S_{полн} = \pi R^2 (\sqrt{2} + 1) (3 + 2\sqrt{2})$

Раскроем скобки в выражении $(\sqrt{2} + 1)(3 + 2\sqrt{2})$: $(\sqrt{2} + 1)(3 + 2\sqrt{2}) = \sqrt{2} \cdot 3 + \sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} + 1 \cdot 3 + 1 \cdot 2\sqrt{2} = 3\sqrt{2} + 4 + 3 + 2\sqrt{2} = 7 + 5\sqrt{2}$.

Таким образом, площадь полной поверхности конуса равна: $S_{полн} = \pi R^2 (7 + 5\sqrt{2})$.

Ответ: $\pi R^2 (7 + 5\sqrt{2})$.