Номер 20, страница 122 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 16. Комбинации цилиндра и сферы, конуса и сферы. Глава 2. Тела вращения - номер 20, страница 122.

Условие.

16.20. Радиусы оснований усечённого конуса равны $r$ и $R$. Найдите радиус сферы, вписанной в данный усечённый конус.

Решение 1.

Решение 3.

Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса и вписанной в него сферы. Сечением является равнобокая трапеция с вписанной в нее окружностью.

Пусть радиусы оснований конуса равны $r$ и $R$, а искомый радиус вписанной сферы равен $x$. Тогда основания трапеции равны $2r$ и $2R$, а высота трапеции, равная высоте конуса $H$, составляет $H = 2x$. Обозначим образующую конуса (боковую сторону трапеции) как $l$.

Для трапеции, в которую можно вписать окружность, справедливо свойство: сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон. $2r + 2R = l + l = 2l$ Следовательно, образующая конуса равна $l = r + R$.

С другой стороны, рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой трапеции $H$, образующей $l$ и отрезком на большем основании, равным разности радиусов $R-r$. По теореме Пифагора: $l^2 = H^2 + (R-r)^2$

Подставим в это равенство выражения для $l$ и $H$: $(r + R)^2 = (2x)^2 + (R-r)^2$

Выразим из уравнения $x$: $4x^2 = (R+r)^2 - (R-r)^2$ Применив формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, получаем: $4x^2 = ((R+r) - (R-r))((R+r) + (R-r))$ $4x^2 = (2r)(2R)$ $4x^2 = 4Rr$

Отсюда следует, что $x^2 = Rr$. Так как радиус является положительной величиной, получаем: $x = \sqrt{Rr}$

Ответ: $\sqrt{Rr}$