Номер 18, страница 122 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 16. Комбинации цилиндра и сферы, конуса и сферы. Глава 2. Тела вращения - номер 18, страница 122.

Условие.

16.18. В усечённый конус, образующая которого равна 8 см, вписан шар.

Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

Решение 1.

Решение 3.

Площадь боковой поверхности усечённого конуса вычисляется по формуле: $S_{бок} = \pi (R + r) l$, где $R$ и $r$ — радиусы оснований, а $l$ — длина образующей.

Условие, что в усечённый конус вписан шар, означает, что в его осевое сечение (равнобедренную трапецию) можно вписать окружность. Основаниями этой трапеции служат диаметры оснований конуса ($2R$ и $2r$), а боковыми сторонами — образующие конуса ($l$).

Для любого четырёхугольника, в который можно вписать окружность, справедливо свойство равенства сумм длин противоположных сторон. Для нашей трапеции это свойство записывается так: $2R + 2r = l + l$

Отсюда следует, что $2(R + r) = 2l$, или $R + r = l$.

Подставим это соотношение в формулу площади боковой поверхности: $S_{бок} = \pi (R + r) l = \pi \cdot l \cdot l = \pi l^2$

По условию задачи, образующая $l = 8$ см. Найдём площадь боковой поверхности: $S_{бок} = \pi \cdot 8^2 = 64\pi$ см².

Ответ: $64\pi$ см².