Номер 22, страница 122 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 16. Комбинации цилиндра и сферы, конуса и сферы. Глава 2. Тела вращения - номер 22, страница 122.

Условие.

16.22 Радиус основания конуса равен 4 см, а радиус описанного около него шара – 5 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Решение 1.

Решение 3.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi r l$, где $r$ — радиус основания, а $l$ — длина образующей. По условию задачи, радиус основания конуса $r = 4$ см. Длина образующей $l$ связана с высотой конуса $h$ и радиусом основания $r$ соотношением из теоремы Пифагора: $l^2 = h^2 + r^2$. Следовательно, для нахождения площади боковой поверхности нам необходимо сначала найти высоту конуса $h$.

Рассмотрим осевое сечение конуса и описанного около него шара. Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник, вписанный в окружность, которая является большим кругом шара. Радиус этой окружности равен радиусу шара, $R = 5$ см. Высота треугольника равна высоте конуса $h$, а половина его основания — радиусу основания конуса $r=4$ см.

Существует формула, связывающая радиус $R$ окружности, описанной около равнобедренного треугольника, с его высотой $h$ и половиной основания $r$ (в нашем случае это параметры конуса): $R = \frac{h^2 + r^2}{2h}$.

Подставим в эту формулу известные значения $R = 5$ и $r = 4$:

$5 = \frac{h^2 + 4^2}{2h}$

Умножим обе части на $2h$ (поскольку $h>0$):

$10h = h^2 + 16$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$h^2 - 10h + 16 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 10, а их произведение равно 16. Этим условиям удовлетворяют числа 2 и 8. Таким образом, мы имеем два возможных значения для высоты конуса: $h_1 = 8$ см и $h_2 = 2$ см.

Это означает, что условию задачи удовлетворяют два различных конуса. Найдем площадь боковой поверхности для каждого из них.

Случай 1: Высота конуса $h_1 = 8$ см.

Найдем длину образующей $l_1$:

$l_1 = \sqrt{h_1^2 + r^2} = \sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$ см.

Площадь боковой поверхности в этом случае равна:

$S_1 = \pi r l_1 = \pi \cdot 4 \cdot 4\sqrt{5} = 16\pi\sqrt{5}$ см$^2$.

Случай 2: Высота конуса $h_2 = 2$ см.

Найдем длину образующей $l_2$:

$l_2 = \sqrt{h_2^2 + r^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$ см.

Площадь боковой поверхности в этом случае равна:

$S_2 = \pi r l_2 = \pi \cdot 4 \cdot 2\sqrt{5} = 8\pi\sqrt{5}$ см$^2$.

Поскольку в условии задачи не содержится дополнительной информации, позволяющей выбрать один из двух вариантов, задача имеет два правильных решения.

Ответ: $16\pi\sqrt{5}$ см$^2$ или $8\pi\sqrt{5}$ см$^2$.