Номер 27, страница 122 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 16. Комбинации цилиндра и сферы, конуса и сферы. Глава 2. Тела вращения - номер 27, страница 122.

Условие.

16.27. Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен $\alpha$, а радиус основания – $R$. В конус вписан шар. Найдите расстояние от вершины конуса до плоскости круга, окружность которого является линией касания шара и боковой поверхности конуса.

Решение 1.

Решение 3.

Рассмотрим осевое сечение конуса и вписанного в него шара. Сечением является равнобедренный треугольник с вписанной в него окружностью.

Обозначим:

• $S$ — вершина конуса,
• $O$ — центр основания конуса,
• $A$ — точка на окружности основания.

Таким образом, $SA$ — образующая конуса, $SO$ — его высота, а $OA$ — радиус основания, равный $R$. Угол между образующей $SA$ и плоскостью основания по условию равен $\alpha$, то есть $\angle SAO = \alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$. Длину образующей $SA$ можно выразить через радиус $R$ и угол $\alpha$:

$\cos \alpha = \frac{OA}{SA} = \frac{R}{SA}$

Отсюда длина образующей:

$SA = \frac{R}{\cos\alpha}$

Вписанный шар касается боковой поверхности конуса по окружности. В нашем осевом сечении эта окружность представлена двумя точками касания вписанной окружности со сторонами равнобедренного треугольника. Обозначим точку касания на образующей $SA$ как $K$.

Так как шар вписан в конус, он касается плоскости основания в центре этого основания, то есть в точке $O$. В осевом сечении это означает, что вписанная окружность касается основания треугольника в точке $O$.

Рассмотрим отрезки касательных, проведенных из вершины $A$ к вписанной окружности (в сечении). Этими отрезками являются $AO$ и $AK$. По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, их длины равны:

$AK = AO = R$

Теперь мы можем найти длину отрезка $SK$, который является расстоянием от вершины конуса $S$ до точки касания $K$ вдоль образующей:

$SK = SA - AK = \frac{R}{\cos\alpha} - R = R \left( \frac{1}{\cos\alpha} - 1 \right) = R \frac{1-\cos\alpha}{\cos\alpha}$

Плоскость круга, по которому шар касается боковой поверхности конуса, перпендикулярна оси конуса $SO$. Пусть $P$ — точка пересечения этой плоскости с осью $SO$. Искомое расстояние от вершины конуса до этой плоскости — это длина отрезка $SP$.

Рассмотрим треугольник $SKP$. Так как плоскость круга касания перпендикулярна оси $SO$, то отрезок $KP$ перпендикулярен $SO$. Следовательно, треугольник $SKP$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $P$.

Угол $\angle KSP$ в этом треугольнике равен углу $\angle ASO$ в треугольнике $SOA$. Найдем этот угол из треугольника $SOA$:

$\angle ASO = 90^\circ - \angle SAO = 90^\circ - \alpha$

В прямоугольном треугольнике $SKP$ искомое расстояние $SP$ является катетом, прилежащим к углу $\angle KSP$. Однако удобнее использовать синус противолежащего угла $\angle SKP$. Из суммы углов треугольника $\triangle SKP$ следует, что $\angle SKP = \alpha$.

Другой способ: в прямоугольном треугольнике $SKP$ искомое расстояние $SP$ можно найти как:

$SP = SK \cdot \cos(\angle KSP) = SK \cdot \cos(90^\circ - \alpha) = SK \cdot \sin\alpha$

Подставим ранее найденное выражение для $SK$:

$SP = R \frac{1-\cos\alpha}{\cos\alpha} \cdot \sin\alpha = R(1-\cos\alpha) \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = R(1-\cos\alpha)\tan\alpha$

Ответ: $R(1-\cos\alpha)\tan\alpha$.