Номер 30, страница 123 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 16. Комбинации цилиндра и сферы, конуса и сферы. Глава 2. Тела вращения - номер 30, страница 123.

Условие.

16.30. В треугольник $ABC$ вписан ромб $AMFK$ так, что угол $A$ у них общий, а вершина $F$ принадлежит стороне $BC$. Найдите сторону ромба, если $AB = 10$ см, $AC = 15$ см.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть сторона ромба $AMFK$ равна $x$ см.По условию, ромб $AMFK$ вписан в треугольник $ABC$. Вершина $A$ у них общая, вершина $M$ лежит на стороне $AB$, вершина $K$ — на стороне $AC$, а вершина $F$ — на стороне $BC$.

Из определения ромба следует, что все его стороны равны. Таким образом, $AM = MF = FK = KA = x$.Также у ромба противоположные стороны параллельны, следовательно, $MF \parallel AK$. Поскольку точка $K$ лежит на стороне $AC$, то $MF \parallel AC$.

Рассмотрим треугольники $MBF$ и $ABC$.

Поскольку прямая $MF$ параллельна прямой $AC$ и пересекает стороны $AB$ и $BC$, то треугольник $MBF$ подобен треугольнику $ABC$ по двум углам:

1. $\angle B$ — общий.
2. $\angle BMF = \angle BAC$ как соответственные углы при параллельных прямых $MF$ и $AC$ и секущей $AB$.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон:
$\frac{MB}{AB} = \frac{MF}{AC}$

Выразим длины отрезков через $x$:
$MF = x$ (сторона ромба).
$MB = AB - AM = 10 - x$.
По условию дано: $AB = 10$ см, $AC = 15$ см.

Подставим эти значения в пропорцию:
$\frac{10 - x}{10} = \frac{x}{15}$

Решим полученное уравнение. Используем основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):
$15 \cdot (10 - x) = 10 \cdot x$
$150 - 15x = 10x$
$150 = 10x + 15x$
$150 = 25x$
$x = \frac{150}{25}$
$x = 6$

Таким образом, сторона ромба равна 6 см.

Ответ: 6 см.