Номер 2, страница 131 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 17. Объём тела. Формулы для вычисления объёма призмы. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 2, страница 131.

Условие.

17.2. Найдите объём куба, диагональ грани которого равна $d$.

Решение 1.

Решение 3.

17.2.

Пусть длина ребра куба равна $a$. Тогда объём куба $V$ определяется по формуле $V = a^3$.

Грань куба является квадратом со стороной $a$. Диагональ этого квадрата, по условию равная $d$, вместе с двумя сторонами образует прямоугольный треугольник, где стороны квадрата являются катетами, а диагональ — гипотенузой.

По теореме Пифагора для грани куба можно записать:
$a^2 + a^2 = d^2$
$2a^2 = d^2$

Выразим сторону куба $a$ через диагональ грани $d$:
$a^2 = \frac{d^2}{2}$
$a = \sqrt{\frac{d^2}{2}} = \frac{d}{\sqrt{2}}$

Теперь, зная длину ребра куба, мы можем вычислить его объём, подставив найденное выражение для $a$ в формулу объёма:
$V = a^3 = \left(\frac{d}{\sqrt{2}}\right)^3 = \frac{d^3}{(\sqrt{2})^3} = \frac{d^3}{2\sqrt{2}}$

Для приведения ответа к стандартному виду избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{2}$:
$V = \frac{d^3 \cdot \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{d^3\sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \frac{d^3\sqrt{2}}{4}$

Ответ: $\frac{d^3\sqrt{2}}{4}$