Номер 6, страница 132 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 17. Объём тела. Формулы для вычисления объёма призмы. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 6, страница 132.

Условие.

17.6. Найдите объём правильной четырёхугольной призмы, сторона основания которой равна $a$, а угол между диагональю призмы и плоскостью основания равен $\alpha$.

Решение 1.

Решение 3.

Объем призмы ($V$) вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $h$ — высота призмы.

1. Нахождение площади основания

В основании правильной четырехугольной призмы лежит квадрат. Сторона основания по условию равна $a$. Площадь квадрата вычисляется как квадрат его стороны. Следовательно, площадь основания призмы:

$S_{осн} = a^2$

2. Нахождение высоты призмы

Угол между диагональю призмы и плоскостью основания — это угол между самой диагональю и ее проекцией на эту плоскость. Проекцией диагонали призмы на плоскость основания является диагональ основания ($d$).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю призмы (гипотенуза), диагональю основания (катет) и высотой призмы (второй катет, равный боковому ребру). Угол между гипотенузой и катетом, лежащим в основании, по условию равен $\alpha$.

Сначала найдем длину диагонали основания ($d$). Так как основание — это квадрат со стороной $a$, по теореме Пифагора:

$d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$

$d = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

Теперь из прямоугольного треугольника, используя определение тангенса, найдем высоту $h$:

$\tan(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{h}{d}$

Отсюда выразим высоту $h$:

$h = d \cdot \tan(\alpha)$

Подставим найденное значение $d$:

$h = a\sqrt{2} \cdot \tan(\alpha)$

3. Вычисление объема призмы

Подставим найденные значения площади основания $S_{осн}$ и высоты $h$ в формулу для объема:

$V = S_{осн} \cdot h = a^2 \cdot (a\sqrt{2} \tan(\alpha))$

$V = a^3\sqrt{2} \tan(\alpha)$

Ответ: $a^3\sqrt{2} \tan(\alpha)$