Номер 13, страница 133 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 17. Объём тела. Формулы для вычисления объёма призмы. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 13, страница 133.

Условие.

17.13. Основание прямой призмы – ромб со стороной 8 см и углом $60^\circ$.

Меньшая диагональ призмы равна 17 см. Найдите объём призмы.

Решение 1.

Решение 3.

Объём прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота призмы.

1. Найдем площадь основания призмы.

Основанием призмы является ромб со стороной $a = 8$ см и углом $\alpha = 60°$. Площадь ромба можно найти по формуле:

$S_{осн} = a^2 \cdot \sin(\alpha)$

Подставим известные значения:

$S_{осн} = 8^2 \cdot \sin(60°) = 64 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 32\sqrt{3}$ см².

2. Найдем высоту призмы.

Поскольку призма прямая, ее высота $h$ совпадает с боковым ребром. Меньшая диагональ призмы ($D_{м}$), меньшая диагональ основания ($d_{м}$) и высота призмы ($h$) образуют прямоугольный треугольник. Согласно теореме Пифагора:

$D_{м}^2 = d_{м}^2 + h^2$

Сначала необходимо найти длину меньшей диагонали ромба. Меньшая диагональ ($d_{м}$) в ромбе лежит напротив меньшего угла (в данном случае, $60°$). Треугольник, образованный двумя сторонами ромба и его меньшей диагональю, является равнобедренным с углом $60°$ между равными сторонами. Такой треугольник является равносторонним.

Следовательно, меньшая диагональ ромба равна его стороне:

$d_{м} = a = 8$ см.

Теперь мы можем найти высоту призмы, используя известную длину меньшей диагонали призмы $D_{м} = 17$ см:

$h^2 = D_{м}^2 - d_{м}^2$

$h^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225$

$h = \sqrt{225} = 15$ см.

3. Вычислим объём призмы.

Зная площадь основания и высоту, найдем объём:

$V = S_{осн} \cdot h = 32\sqrt{3} \cdot 15 = 480\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $480\sqrt{3}$ см³.