Номер 17, страница 133 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 17. Объём тела. Формулы для вычисления объёма призмы. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 17, страница 133.

Условие.

17.17. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 12 см и образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Угол между диагональю основания и одной из его сторон равен $60^\circ$. Найдите объём параллелепипеда.

Решение 1.

Решение 3.

Для решения задачи найдём последовательно высоту параллелепипеда, стороны его основания, а затем вычислим объём.

Пусть $D$ — диагональ прямоугольного параллелепипеда, $d$ — диагональ его основания, $c$ — высота параллелепипеда, $a$ и $b$ — стороны основания.
По условию, $D = 12$ см.

1. Нахождение высоты $c$ и диагонали основания $d$.
Диагональ параллелепипеда $D$, её проекция на плоскость основания (диагональ основания $d$) и высота $c$ образуют прямоугольный треугольник. Угол между диагональю $D$ и плоскостью основания по условию равен $30^\circ$. В этом треугольнике $D$ является гипотенузой.
Высота $c$ — это катет, противолежащий углу $30^\circ$:
$c = D \cdot \sin(30^\circ) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$ см.
Диагональ основания $d$ — это катет, прилежащий к углу $30^\circ$:
$d = D \cdot \cos(30^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см.

2. Нахождение сторон основания $a$ и $b$.
Основание параллелепипеда — прямоугольник со сторонами $a$ и $b$. Его диагональ $d$ вместе со сторонами образует прямоугольный треугольник. По условию, угол между диагональю основания $d$ и одной из сторон (пусть стороной $a$) равен $60^\circ$. В этом треугольнике $d$ является гипотенузой.
Найдём стороны $a$ и $b$:
$a = d \cdot \cos(60^\circ) = 6\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 3\sqrt{3}$ см.
$b = d \cdot \sin(60^\circ) = 6\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{6 \cdot 3}{2} = 9$ см.

3. Нахождение объёма параллелепипеда.
Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot c$.
Подставим найденные значения:
$V = (3\sqrt{3}) \cdot 9 \cdot 6 = 162\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $162\sqrt{3}$ см³.