Номер 14, страница 133 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 17. Объём тела. Формулы для вычисления объёма призмы. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 14, страница 133.

Условие.

17.14. Основание прямой призмы – равнобокая трапеция с основаниями 5 см и 11 см и диагональю 10 см. Диагональ призмы равна 26 см. Найдите объём призмы.

Решение 1.

Решение 3.

Объем прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

1. Нахождение площади основания

Основанием призмы является равнобокая трапеция. Даны её основания $a = 11$ см и $b = 5$ см, а также диагональ $d_{тр} = 10$ см. Площадь трапеции находится по формуле: $S_{осн} = \frac{a+b}{2} \cdot h_{тр}$, где $h_{тр}$ — высота трапеции.

Чтобы найти высоту трапеции, опустим высоту из вершины меньшего основания на большее. В равнобокой трапеции эта высота, диагональ и отрезок большего основания образуют прямоугольный треугольник. Длина этого отрезка, соединяющего вершину большего основания и основание высоты, равна полусумме оснований трапеции:

$x = \frac{a+b}{2} = \frac{11+5}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см.

Теперь по теореме Пифагора для этого прямоугольного треугольника ($d_{тр}^2 = x^2 + h_{тр}^2$) найдем высоту трапеции:

$10^2 = 8^2 + h_{тр}^2$

$100 = 64 + h_{тр}^2$

$h_{тр}^2 = 100 - 64 = 36$

$h_{тр} = \sqrt{36} = 6$ см.

Теперь можно вычислить площадь основания (трапеции):

$S_{осн} = \frac{11+5}{2} \cdot 6 = 8 \cdot 6 = 48$ см².

2. Нахождение высоты призмы

Так как призма прямая, ее диагональ ($D_{пр}$), диагональ основания ($d_{тр}$) и высота призмы ($H$) образуют прямоугольный треугольник. Связь между ними выражается формулой, вытекающей из теоремы Пифагора: $D_{пр}^2 = d_{тр}^2 + H^2$.

По условию диагональ призмы $D_{пр} = 26$ см, а диагональ основания $d_{тр} = 10$ см. Подставим значения в формулу:

$26^2 = 10^2 + H^2$

$676 = 100 + H^2$

$H^2 = 676 - 100 = 576$

$H = \sqrt{576} = 24$ см.

3. Нахождение объёма призмы

Теперь, зная площадь основания и высоту призмы, мы можем найти ее объем:

$V = S_{осн} \cdot H = 48 \cdot 24 = 1152$ см³.

Ответ: $1152$ см³.