Номер 9, страница 132 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 17. Объём тела. Формулы для вычисления объёма призмы. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 9, страница 132.

Условие.

17.9. Рёбра прямоугольного параллелепипеда пропорциональны числам 2, 3 и 6, а его диагональ равна 14 см. Найдите объём параллелепипеда.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть рёбра прямоугольного параллелепипеда равны $a$, $b$ и $c$. По условию задачи, они пропорциональны числам 2, 3 и 6. Это можно записать с помощью коэффициента пропорциональности $k$:
$a = 2k$
$b = 3k$
$c = 6k$

Квадрат диагонали ($d$) прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений (длины, ширины и высоты). Формула для квадрата диагонали:
$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$

Из условия известно, что диагональ $d = 14$ см. Подставим данные в формулу и решим уравнение относительно $k$:
$14^2 = (2k)^2 + (3k)^2 + (6k)^2$
$196 = 4k^2 + 9k^2 + 36k^2$
$196 = (4 + 9 + 36)k^2$
$196 = 49k^2$
$k^2 = \frac{196}{49} = 4$
Так как длина ребра — положительная величина, $k = \sqrt{4} = 2$.

Теперь, зная коэффициент $k$, мы можем найти длины рёбер параллелепипеда:
$a = 2k = 2 \cdot 2 = 4$ см
$b = 3k = 3 \cdot 2 = 6$ см
$c = 6k = 6 \cdot 2 = 12$ см

Объём $V$ прямоугольного параллелепипеда вычисляется как произведение длин его рёбер:
$V = a \cdot b \cdot c$
$V = 4 \cdot 6 \cdot 12 = 288$ см$^3$.

Ответ: $288 \text{ см}^3$.