Номер 7, страница 132 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 17. Объём тела. Формулы для вычисления объёма призмы. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 7, страница 132.

Условие.

17.7. Высота правильной треугольной призмы равна $h$, а диагональ боковой грани образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Найдите объём призмы.

Решение 1.

Решение 3.

Объем призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота. По условию, высота призмы $H = h$.

Так как призма правильная треугольная, в её основании лежит равносторонний треугольник. Обозначим сторону основания через $a$. Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле: $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Чтобы найти объем, необходимо определить длину стороны основания $a$. Для этого рассмотрим одну из боковых граней, которая является прямоугольником со сторонами $a$ и $h$. Диагональ этой грани, сторона основания $a$ и высота призмы $h$ образуют прямоугольный треугольник.

Угол $\alpha$ между диагональю боковой грани и плоскостью основания — это угол между самой диагональю и её проекцией на эту плоскость. Проекцией диагонали боковой грани на плоскость основания является сторона основания $a$. Следовательно, в образовавшемся прямоугольном треугольнике катетами являются сторона основания $a$ и высота $h$, а угол между стороной $a$ и диагональю равен $\alpha$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике следует, что тангенс угла $\alpha$ равен отношению противолежащего катета ($h$) к прилежащему катету ($a$):

$\tan(\alpha) = \frac{h}{a}$

Из этого соотношения выразим сторону основания $a$:

$a = \frac{h}{\tan(\alpha)} = h \cot(\alpha)$

Теперь подставим полученное выражение для $a$ в формулу площади основания:

$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(h \cot(\alpha))^2\sqrt{3}}{4} = \frac{h^2 \cot^2(\alpha) \sqrt{3}}{4}$

Наконец, вычислим объем призмы, умножив площадь основания на высоту $h$:

$V = S_{осн} \cdot h = \frac{h^2 \cot^2(\alpha) \sqrt{3}}{4} \cdot h = \frac{\sqrt{3}}{4}h^3\cot^2(\alpha)$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{4}h^3\cot^2(\alpha)$