Номер 5, страница 132 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 17. Объём тела. Формулы для вычисления объёма призмы. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 5, страница 132.

Условие.

17.5. Найдите объём правильной шестиугольной призмы, каждое ребро которой равно $a$.

Решение 1.

Решение 3.

Объём призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания призмы, а $H$ — её высота.

В основании данной призмы лежит правильный шестиугольник. По условию, каждое ребро призмы равно $a$. Это означает, что сторона основания равна $a$, и высота призмы (которая равна боковому ребру) также равна $a$. То есть, $H = a$.

Теперь найдём площадь основания $S_{осн}$. Правильный шестиугольник со стороной $a$ можно разбить на шесть равносторонних треугольников со стороной $a$.

Площадь одного равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле: $S_{\triangle} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Так как основание состоит из шести таких треугольников, его площадь равна: $S_{осн} = 6 \cdot S_{\triangle} = 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$

Подставим найденные значения площади основания и высоты в формулу для объёма призмы: $V = S_{осн} \cdot H = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2} \cdot a = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^3$

Ответ: $V = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^3$.