Номер 16, страница 133 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 17. Объём тела. Формулы для вычисления объёма призмы. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 16, страница 133.

Условие.

17.16. Основанием наклонной призмы является треугольник со сторонами $4\sqrt{3}$ см и 5 см и углом $120^\circ$ между ними. Боковое ребро призмы равно 20 см и образует с высотой призмы угол $60^\circ$. Найдите объём призмы.

Решение 1.

Решение 3.

Объём любой призмы, в том числе и наклонной, вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы. Решение задачи сводится к нахождению этих двух величин.

1. Нахождение площади основания ($S_{осн}$)

В основании призмы лежит треугольник с двумя сторонами $a = 4\sqrt{3}$ см и $b = 5$ см и углом между ними $\gamma = 120^\circ$. Площадь такого треугольника находится по формуле:

$S_{осн} = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$

Подставим известные значения. Учитывая, что $\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} \cdot 5 \cdot \sin(120^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 20\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{20 \cdot (\sqrt{3})^2}{4} = \frac{20 \cdot 3}{4} = 15$ см².

2. Нахождение высоты призмы ($H$)

Дано боковое ребро призмы $L = 20$ см, которое образует с высотой призмы $H$ угол $\alpha = 60^\circ$. Высота призмы, её боковое ребро и проекция этого ребра на плоскость основания образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике боковое ребро $L$ является гипотенузой, а высота $H$ — катетом, прилежащим к углу $\alpha$.

Из определения косинуса в прямоугольном треугольнике следует:

$\cos\alpha = \frac{H}{L}$

Отсюда можем выразить и найти высоту $H$:

$H = L \cdot \cos\alpha = 20 \cdot \cos(60^\circ)$

Так как $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, то высота призмы равна:

$H = 20 \cdot \frac{1}{2} = 10$ см.

3. Нахождение объёма призмы ($V$)

Теперь, имея площадь основания и высоту, мы можем вычислить объём призмы:

$V = S_{осн} \cdot H = 15 \text{ см}^2 \cdot 10 \text{ см} = 150 \text{ см}^3$.

Ответ: $150$ см³.