Номер 23, страница 133 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 17. Объём тела. Формулы для вычисления объёма призмы. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 23, страница 133.

Условие.

17.23. Площади трёх граней прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую вершину, равны $S_1$, $S_2$ и $S_3$. Найдите объём параллелепипеда.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда, то есть его длина, ширина и высота, равны $a$, $b$ и $c$ соответственно.

Объём $V$ прямоугольного параллелепипеда вычисляется как произведение трёх его измерений:

$V = a \cdot b \cdot c$

Грани прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольниками. Три грани, сходящиеся в одной вершине, образованы парами ребер, выходящих из этой вершины. Площади этих трёх граней будут равны:

$S_1 = a \cdot b$

$S_2 = a \cdot c$

$S_3 = b \cdot c$

Чтобы найти связь между площадями граней и объёмом, перемножим эти три площади:

$S_1 \cdot S_2 \cdot S_3 = (a \cdot b) \cdot (a \cdot c) \cdot (b \cdot c)$

Сгруппируем одинаковые множители в правой части равенства:

$S_1 \cdot S_2 \cdot S_3 = a^2 \cdot b^2 \cdot c^2$

Используя свойство степени, правую часть можно записать как квадрат произведения измерений:

$S_1 \cdot S_2 \cdot S_3 = (a \cdot b \cdot c)^2$

Поскольку $V = a \cdot b \cdot c$, мы можем заменить произведение в скобках на $V$:

$S_1 \cdot S_2 \cdot S_3 = V^2$

Для того чтобы выразить объём $V$, необходимо извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения. Так как объём не может быть отрицательным, мы рассматриваем только арифметический квадратный корень:

$V = \sqrt{S_1 \cdot S_2 \cdot S_3}$

Таким образом, объём прямоугольного параллелепипеда равен квадратному корню из произведения площадей трёх его граней, имеющих общую вершину.

Ответ: $V = \sqrt{S_1 S_2 S_3}$