Номер 29, страница 134 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 17. Объём тела. Формулы для вычисления объёма призмы. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 29, страница 134.

Условие.

17.29. Через вершины $B, D$ и $C_1$ правильной призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ проведена плоскость, образующая с плоскостью основания призмы угол $60^\circ$. Расстояние от точки $C$ до проведённой плоскости равно $2\sqrt{3}$ см. Найдите объём призмы.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — данная правильная призма. Это означает, что ее основание $ABCD$ является квадратом, а боковые ребра перпендикулярны плоскости основания. Обозначим сторону основания за $a$, а высоту призмы (длину бокового ребра $CC_1$) за $h$. Объем призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h = a^2h$.

Плоскость, о которой говорится в условии, проходит через вершины $B$, $D$ и $C_1$. Назовем ее плоскостью $\alpha$. Эта плоскость пересекает плоскость основания $ABCD$ по прямой $BD$. Угол между плоскостью $\alpha$ и плоскостью основания по условию равен $60^\circ$. Этот угол является двугранным углом между указанными плоскостями.

Для нахождения линейного угла этого двугранного угла построим перпендикуляры к их общей прямой $BD$ в одной точке. В основании призмы лежит квадрат $ABCD$, его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$ и взаимно перпендикулярны. Следовательно, $CO \perp BD$. Отрезок $CO$ является проекцией наклонной $C_1O$ на плоскость основания. По теореме о трех перпендикулярах, так как проекция $CO$ перпендикулярна прямой $BD$, то и сама наклонная $C_1O$ перпендикулярна прямой $BD$ ($C_1O \perp BD$).

Таким образом, угол $\angle COC_1$ является линейным углом двугранного угла между плоскостью $(BDC_1)$ и плоскостью основания. По условию, $\angle COC_1 = 60^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle COC_1$ (угол $\angle O CC_1 = 90^\circ$, так как призма правильная и $CC_1 \perp (ABCD)$). Катет $CC_1 = h$. Катет $CO$ равен половине диагонали квадрата $ABCD$. Диагональ $AC = \sqrt{a^2+a^2} = a\sqrt{2}$, тогда $CO = \frac{1}{2}AC = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.Из треугольника $\triangle COC_1$ найдем соотношение между $h$ и $a$:$\tan(\angle COC_1) = \frac{CC_1}{CO} \Rightarrow \tan(60^\circ) = \frac{h}{\frac{a\sqrt{2}}{2}}$$\sqrt{3} = \frac{2h}{a\sqrt{2}} \Rightarrow h = \frac{a\sqrt{6}}{2}$.

Теперь используем второе условие: расстояние от точки $C$ до плоскости $(BDC_1)$ равно $2\sqrt{3}$ см.Найдем это расстояние, используя метод объемов для тетраэдра $CBDC_1$. Объем тетраэдра можно вычислить двумя способами.

1. Если за основание тетраэдра взять грань $CBD$, то его высота будет равна ребру $CC_1=h$. Треугольник $CBD$ — прямоугольный ($\angle C = 90^\circ$), его площадь $S_{\triangle CBD} = \frac{1}{2} \cdot CB \cdot CD = \frac{1}{2}a^2$.Тогда объем тетраэдра: $V_{CBDC_1} = \frac{1}{3} S_{\triangle CBD} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}a^2 \cdot h = \frac{a^2h}{6}$.

2. Если за основание тетраэдра взять грань $BDC_1$, то его высота — это и есть искомое расстояние от точки $C$ до плоскости $(BDC_1)$, которое по условию равно $d = 2\sqrt{3}$ см.Найдем площадь треугольника $BDC_1$. Его основание $BD = a\sqrt{2}$. Высота, проведенная к этому основанию, — это отрезок $C_1O$.Из прямоугольного треугольника $\triangle COC_1$:$\cos(\angle COC_1) = \frac{CO}{C_1O} \Rightarrow \cos(60^\circ) = \frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{C_1O}$$\frac{1}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2 \cdot C_1O} \Rightarrow C_1O = a\sqrt{2}$.Площадь треугольника $BDC_1$ равна: $S_{\triangle BDC_1} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot C_1O = \frac{1}{2} \cdot a\sqrt{2} \cdot a\sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot 2a^2 = a^2$.Тогда объем тетраэдра: $V_{CBDC_1} = \frac{1}{3} S_{\triangle BDC_1} \cdot d = \frac{1}{3} a^2 \cdot 2\sqrt{3}$.

Приравняем два полученных выражения для объема тетраэдра:$\frac{a^2h}{6} = \frac{2\sqrt{3}a^2}{3}$Поскольку $a \neq 0$, сократим обе части на $a^2$:$\frac{h}{6} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$$h = \frac{6 \cdot 2\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$ см.

Теперь найдем сторону основания $a$, используя найденное ранее соотношение $h = \frac{a\sqrt{6}}{2}$:$4\sqrt{3} = \frac{a\sqrt{6}}{2}$$8\sqrt{3} = a\sqrt{6}$$a = \frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{2}\sqrt{3}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ см.

Наконец, вычислим объем призмы:$V = a^2h = (4\sqrt{2})^2 \cdot 4\sqrt{3} = (16 \cdot 2) \cdot 4\sqrt{3} = 32 \cdot 4\sqrt{3} = 128\sqrt{3}$ см$^3$.

Ответ: $128\sqrt{3}$ см$^3$.