Номер 32, страница 134 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 17. Объём тела. Формулы для вычисления объёма призмы. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 32, страница 134.

Условие.

17.32. Основанием прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является ромб $ABCD$, диагонали которого равны 8 см и $4\sqrt{5}$ см. Угол между плоскостью, проходящей через прямые $AD$ и $B_1C_1$, и плоскостью основания призмы равен $45^\circ$. Найдите объём призмы.

Решение 1.

Решение 3.

Объем прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

1. Нахождение площади основания призмы.

Основанием призмы является ромб $ABCD$, диагонали которого по условию равны $d_1 = 8$ см и $d_2 = 4\sqrt{5}$ см. Площадь ромба вычисляется по формуле:$S_{осн} = S_{ABCD} = \frac{1}{2} d_1 d_2$Подставляем значения диагоналей:$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4\sqrt{5} = 16\sqrt{5}$ см².

2. Нахождение высоты призмы.

Высота прямой призмы $H$ равна длине ее бокового ребра (например, $AA_1$ или $CC_1$).Угол между плоскостью, проходящей через прямые $AD$ и $B_1C_1$, и плоскостью основания $(ABCD)$ равен 45°. Так как в основании лежит ромб $ABCD$, то $AD \parallel BC$. В прямой призме грань $BCC_1B_1$ является прямоугольником, поэтому $BC \parallel B_1C_1$. Следовательно, $AD \parallel B_1C_1$. Две параллельные прямые $AD$ и $B_1C_1$ задают плоскость сечения $ADC_1B_1$.Линией пересечения плоскости сечения $ADC_1B_1$ и плоскости основания $ABCD$ является прямая $AD$.

Угол между двумя плоскостями — это двугранный угол, который измеряется своим линейным углом. Для построения линейного угла необходимо в каждой плоскости провести перпендикуляр к линии их пересечения $AD$ из одной и той же точки.

Найдем высоту ромба $h$. Для этого сначала найдем его сторону $a$. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба. По теореме Пифагора:$a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = (\frac{8}{2})^2 + (\frac{4\sqrt{5}}{2})^2 = 4^2 + (2\sqrt{5})^2 = 16 + 4 \cdot 5 = 16 + 20 = 36$$a = \sqrt{36} = 6$ см.

Площадь ромба также можно найти по формуле $S_{осн} = a \cdot h$, где $h$ — высота ромба. Отсюда выразим высоту:$h = \frac{S_{осн}}{a} = \frac{16\sqrt{5}}{6} = \frac{8\sqrt{5}}{3}$ см.

Проведем высоту ромба $CK$ из вершины $C$ на прямую, содержащую сторону $AD$. Тогда $CK \perp AD$ и длина $CK$ равна высоте ромба $h$.Так как призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$ прямая, ее боковое ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания, а значит, $CC_1$ перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, в том числе и $CK$. Таким образом, $\triangle C_1CK$ — прямоугольный.По теореме о трех перпендикулярах: так как прямая $AD$ в плоскости основания перпендикулярна проекции $CK$ наклонной $C_1K$, то она перпендикулярна и самой наклонной $C_1K$.Следовательно, угол $\angle C_1KC$ является линейным углом двугранного угла между плоскостью сечения $ADC_1B_1$ и плоскостью основания $ABCD$. По условию, этот угол равен 45°, то есть $\angle C_1KC = 45°$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle C_1CK$ катеты $CC_1$ и $CK$. $CC_1$ — это высота призмы $H$, а $CK$ — высота ромба $h$. Тангенс угла $\angle C_1KC$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему:$\tan(\angle C_1KC) = \frac{CC_1}{CK} = \frac{H}{h}$$\tan(45^\circ) = \frac{H}{h}$$1 = \frac{H}{h}$Следовательно, $H = h = \frac{8\sqrt{5}}{3}$ см.

3. Нахождение объема призмы.

Теперь, зная площадь основания и высоту призмы, мы можем вычислить ее объем:$V = S_{осн} \cdot H = 16\sqrt{5} \cdot \frac{8\sqrt{5}}{3} = \frac{16 \cdot 8 \cdot (\sqrt{5})^2}{3} = \frac{128 \cdot 5}{3} = \frac{640}{3}$ см³.

Ответ: $\frac{640}{3}$ см³.