Номер 38, страница 135 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 17. Объём тела. Формулы для вычисления объёма призмы. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 38, страница 135.

Условие.

17.38. Основанием наклонной призмы является квадрат. Две боковые грани перпендикулярны плоскости основания, а площадь каждой из двух других граней равна $36 \text{ см}^2$. Боковые рёбра призмы равны рёбрам основания и образуют с плоскостью основания угол $30^\circ$. Найдите объём призмы.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть сторона квадрата в основании призмы равна $a$. Тогда площадь основания $S_{осн} = a^2$.Длина бокового ребра призмы $l$ по условию равна стороне основания, то есть $l=a$.Объем призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $H$ - высота призмы.

Высоту призмы можно найти, зная длину бокового ребра $l$ и угол $\alpha = 30^\circ$, который оно образует с плоскостью основания:$H = l \sin(\alpha) = a \sin(30^\circ) = a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a}{2}$.Подставив это в формулу объема, получаем:$V = a^2 \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^3}{2}$.Для нахождения объема необходимо определить значение $a$.

В условии сказано, что две боковые грани перпендикулярны плоскости основания. Если бы перпендикулярными были две смежные грани, то их общее боковое ребро было бы перпендикулярно основанию. В этом случае призма была бы прямой, а угол наклона бокового ребра к основанию составлял бы $90^\circ$, что противоречит условию ($30^\circ$). Следовательно, перпендикулярными к основанию являются две противоположные боковые грани. Пусть это будут грани, проходящие через стороны $AB$ и $CD$ квадрата основания $ABCD$.

То, что боковые грани, проходящие через ребра $AB$ и $CD$, перпендикулярны основанию, означает, что призма наклонена в направлении, перпендикулярном этим ребрам, то есть в направлении, параллельном ребрам $AD$ и $BC$.

Рассмотрим одну из двух других боковых граней, например, грань $ADD_1A_1$. Ее сторонами являются ребро основания $AD$ и боковое ребро $AA_1$. По условию их длины равны $a$. Таким образом, эта грань является ромбом со стороной $a$.

Поскольку направление наклона призмы перпендикулярно ребру $AD$, то боковое ребро $AA_1$ также перпендикулярно ребру $AD$. Угол между ними составляет $90^\circ$.Ромб, у которого один из углов прямой, является квадратом. Следовательно, боковая грань $ADD_1A_1$ - это квадрат со стороной $a$.

Площадь этой грани равна $S_{бок} = a^2$. По условию, площадь этой грани равна $36 \, \text{см}^2$.Следовательно, $a^2 = 36$, откуда $a = 6 \, \text{см}$.

Теперь мы можем вычислить объем призмы:$V = \frac{a^3}{2} = \frac{6^3}{2} = \frac{216}{2} = 108 \, \text{см}^3$.

Ответ: $108 \, \text{см}^3$.