Номер 41, страница 135 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 17. Объём тела. Формулы для вычисления объёма призмы. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 41, страница 135.

Условие.

17.41. Даны векторы $\vec{m} (3;-2;p)$ и $\vec{n} (-9;6;-12).$

1) При каком значении $p$ векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$ коллинеарны?

2) При каком значении $p$ вектор $\vec{m}$ будет перпендикулярен оси $z$?

3) Найдите уравнение плоскости, которая содержит ось $z$ и перпендикулярна вектору $\vec{m}$.

Решение 1.

Решение 3.

1) При каком значении p векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$ коллинеарны?

Даны векторы $\vec{m} = (3; -2; p)$ и $\vec{n} = (-9; 6; -12)$.

Два вектора коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны. То есть, существует такое число $k$, что $\vec{n} = k \cdot \vec{m}$. Это условие можно записать в виде системы уравнений для координат:

$n_x = k \cdot m_x \implies -9 = k \cdot 3$
$n_y = k \cdot m_y \implies 6 = k \cdot (-2)$
$n_z = k \cdot m_z \implies -12 = k \cdot p$

Из первого уравнения находим коэффициент пропорциональности $k$: $k = \frac{-9}{3} = -3$.

Проверим по второму уравнению: $k = \frac{6}{-2} = -3$.

Значение $k$ совпадает, значит, векторы могут быть коллинеарны. Подставим найденное значение $k$ в третье уравнение, чтобы найти $p$:

$-12 = (-3) \cdot p$

$p = \frac{-12}{-3} = 4$

Таким образом, векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$ коллинеарны при $p=4$.

Ответ: $p=4$.

2) При каком значении p вектор $\vec{m}$ будет перпендикулярен оси z?

Вектор $\vec{m} = (3; -2; p)$ будет перпендикулярен оси $z$, если его скалярное произведение с направляющим вектором оси $z$ равно нулю.

Направляющий вектор оси $z$ — это вектор $\vec{k} = (0; 0; 1)$.

Условие перпендикулярности векторов: $\vec{m} \cdot \vec{k} = 0$.

Найдем скалярное произведение:

$\vec{m} \cdot \vec{k} = m_x \cdot k_x + m_y \cdot k_y + m_z \cdot k_z = 3 \cdot 0 + (-2) \cdot 0 + p \cdot 1$

$3 \cdot 0 + (-2) \cdot 0 + p \cdot 1 = 0 + 0 + p = p$

Приравнивая скалярное произведение к нулю, получаем: $p = 0$.

Ответ: $p=0$.

3) Найдите уравнение плоскости, которая содержит ось z и перпендикулярна вектору $\vec{m}$.

Пусть искомая плоскость имеет уравнение $Ax + By + Cz + D = 0$.

По условию, плоскость перпендикулярна вектору $\vec{m} = (3; -2; p)$. Это означает, что вектор $\vec{m}$ является вектором нормали к этой плоскости. Следовательно, его координаты можно взять в качестве коэффициентов $A, B, C$ в уравнении плоскости:

$A=3, B=-2, C=p$.

Уравнение плоскости принимает вид: $3x - 2y + pz + D = 0$.

Также по условию, плоскость содержит ось $z$. Это означает, что любая точка на оси $z$ принадлежит этой плоскости. В частности, плоскость проходит через начало координат $O(0; 0; 0)$.

Подставим координаты точки $O(0; 0; 0)$ в уравнение плоскости, чтобы найти $D$:

$3 \cdot 0 - 2 \cdot 0 + p \cdot 0 + D = 0 \implies D = 0$.

Теперь уравнение плоскости имеет вид: $3x - 2y + pz = 0$.

Так как плоскость содержит всю ось $z$, то ее вектор нормали $\vec{m}$ должен быть перпендикулярен направляющему вектору оси $z$, то есть вектору $\vec{k} = (0; 0; 1)$.

Условие перпендикулярности векторов $\vec{m}$ и $\vec{k}$ — их скалярное произведение равно нулю:

$\vec{m} \cdot \vec{k} = 0$

$(3; -2; p) \cdot (0; 0; 1) = 3 \cdot 0 + (-2) \cdot 0 + p \cdot 1 = p$

Отсюда следует, что $p = 0$.

Подставив $p=0$ в уравнение плоскости, получаем окончательное уравнение:

$3x - 2y + 0 \cdot z = 0$

$3x - 2y = 0$

Ответ: $3x - 2y = 0$.