Номер 39, страница 135 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 17. Объём тела. Формулы для вычисления объёма призмы. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 39, страница 135.

Условие.

17.39. В прямоугольном треугольнике медианы, проведённые к катетам, равны $2\sqrt{73}$ см и $4\sqrt{13}$ см. Найдите катеты треугольника.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$. Медианы, проведенные к этим катетам, обозначим как $m_a$ и $m_b$ соответственно. По условию, их длины равны $2\sqrt{73}$ см и $4\sqrt{13}$ см. Не имеет значения, какую длину какой медиане присвоить, поэтому пусть медиана к катету $a$ будет $m_a = 2\sqrt{73}$ см, а медиана к катету $b$ — $m_b = 4\sqrt{13}$ см.

Медиана, проведенная к катету, является гипотенузой для другого прямоугольного треугольника. Катетами этого нового треугольника являются второй катет исходного треугольника и половина того катета, к которому проведена медиана. Применим теорему Пифагора для каждого из двух случаев.

Для медианы $m_a$, проведенной к катету $a$, образуется прямоугольный треугольник с катетами $b$ и $\frac{a}{2}$. По теореме Пифагора:

$m_a^2 = b^2 + (\frac{a}{2})^2$

$(2\sqrt{73})^2 = b^2 + \frac{a^2}{4}$

$4 \cdot 73 = b^2 + \frac{a^2}{4}$

$292 = b^2 + \frac{a^2}{4}$

Для медианы $m_b$, проведенной к катету $b$, образуется прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $\frac{b}{2}$. По теореме Пифагора:

$m_b^2 = a^2 + (\frac{b}{2})^2$

$(4\sqrt{13})^2 = a^2 + \frac{b^2}{4}$

$16 \cdot 13 = a^2 + \frac{b^2}{4}$

$208 = a^2 + \frac{b^2}{4}$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$$ \begin{cases} b^2 + \frac{a^2}{4} = 292 \\ a^2 + \frac{b^2}{4} = 208 \end{cases} $$

Умножим оба уравнения на 4, чтобы избавиться от дробей:

$$ \begin{cases} 4b^2 + a^2 = 1168 \\ 4a^2 + b^2 = 832 \end{cases} $$

Сложим эти два уравнения:

$(4b^2 + a^2) + (4a^2 + b^2) = 1168 + 832$

$5a^2 + 5b^2 = 2000$

Разделим обе части уравнения на 5:

$a^2 + b^2 = 400$

Теперь выразим $b^2$ из полученного уравнения: $b^2 = 400 - a^2$. Подставим это выражение во второе уравнение системы ($4a^2 + b^2 = 832$):

$4a^2 + (400 - a^2) = 832$

$3a^2 + 400 = 832$

$3a^2 = 832 - 400$

$3a^2 = 432$

$a^2 = \frac{432}{3} = 144$

Так как $a$ — это длина катета, $a > 0$, следовательно, $a = \sqrt{144} = 12$ см.

Теперь найдем $b$, используя уравнение $b^2 = 400 - a^2$:

$b^2 = 400 - 144 = 256$

Так как $b$ — это длина катета, $b > 0$, следовательно, $b = \sqrt{256} = 16$ см.

Таким образом, катеты треугольника равны 12 см и 16 см.

Ответ: 12 см и 16 см.