Номер 36, страница 135 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 17. Объём тела. Формулы для вычисления объёма призмы. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 36, страница 135.

Условие.

17.36. Основанием наклонного параллелепипеда является квадрат, а каждая его боковая грань – ромб со стороной $a$ и углом $60^\circ$. Найдите объём параллелепипеда.

Решение 1.

Решение 3.

Объем наклонного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота параллелепипеда. Решим задачу в три этапа.

1. Нахождение площади основания

По условию, основанием параллелепипеда является квадрат. Каждая боковая грань является ромбом со стороной $a$. Поскольку стороны основания являются также сторонами боковых граней (например, ребро $AB$ является стороной квадрата $ABCD$ и ромба $ABB_1A_1$), то сторона квадрата в основании также равна $a$.Следовательно, площадь основания равна:$S_{осн} = a \cdot a = a^2$.

2. Нахождение высоты параллелепипеда

Пусть $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — данный наклонный параллелепипед, где $ABCD$ — квадратное основание. Все рёбра параллелепипеда имеют длину $a$. Боковые грани, например $ABB_1A_1$ и $ADD_1A_1$, являются ромбами с острым углом 60°. Это означает, что углы при вершине $A$, образованные боковым ребром и рёбрами основания, равны 60°, то есть $\angle A_1AB = 60^\circ$ и $\angle A_1AD = 60^\circ$.

Для нахождения высоты введём прямоугольную систему координат с началом в вершине $A(0, 0, 0)$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, а ось $Oy$ — вдоль ребра $AD$. В этой системе координат вершины основания имеют координаты $A(0, 0, 0)$, $B(a, 0, 0)$, $D(0, a, 0)$.

Пусть вершина $A_1$ имеет координаты $(x, y, z)$. Длина бокового ребра $AA_1$ равна $a$, следовательно, выполняется равенство: $x^2 + y^2 + z^2 = a^2$. Высота параллелепипеда $H$ — это перпендикуляр, опущенный из точки $A_1$ на плоскость основания, то есть $H = z$ (при условии $z > 0$).

Векторы, соответствующие рёбрам, исходящим из вершины $A$: $\vec{AB} = (a, 0, 0)$, $\vec{AD} = (0, a, 0)$ и $\vec{AA_1} = (x, y, z)$.

Угол между векторами $\vec{AA_1}$ и $\vec{AB}$ равен $60^\circ$. Используя определение скалярного произведения векторов, получаем:$\vec{AA_1} \cdot \vec{AB} = |\vec{AA_1}| \cdot |\vec{AB}| \cdot \cos(60^\circ)$$x \cdot a + y \cdot 0 + z \cdot 0 = a \cdot a \cdot \frac{1}{2}$$ax = \frac{a^2}{2}$, откуда $x = \frac{a}{2}$.

Аналогично, угол между векторами $\vec{AA_1}$ и $\vec{AD}$ равен $60^\circ$:$\vec{AA_1} \cdot \vec{AD} = |\vec{AA_1}| \cdot |\vec{AD}| \cdot \cos(60^\circ)$$x \cdot 0 + y \cdot a + z \cdot 0 = a \cdot a \cdot \frac{1}{2}$$ay = \frac{a^2}{2}$, откуда $y = \frac{a}{2}$.

Теперь найдём высоту $H = z$ из уравнения длины ребра $AA_1$:$x^2 + y^2 + z^2 = a^2$$(\frac{a}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2 + H^2 = a^2$$\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} + H^2 = a^2$$\frac{2a^2}{4} + H^2 = a^2$$\frac{a^2}{2} + H^2 = a^2$$H^2 = a^2 - \frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{2}$$H = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

3. Вычисление объёма параллелепипеда

Теперь, зная площадь основания и высоту, мы можем вычислить объём:$V = S_{осн} \cdot H = a^2 \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a^3\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{a^3\sqrt{2}}{2}$