Номер 33, страница 134 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 17. Объём тела. Формулы для вычисления объёма призмы. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 33, страница 134.

Условие.

17.33. Основанием наклонного параллелепипеда является ромб, одна из диагоналей которого равна 24 см. Диагональ одной из боковых граней равна $13\sqrt{3}$ см и перпендикулярна плоскости основания. Угол между боковым ребром параллелепипеда и плоскостью основания равен $60^\circ$. Найдите объём параллелепипеда.

Решение 1.

Решение 3.

Объём наклонного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота параллелепипеда.

1. Нахождение высоты параллелепипеда

По условию, диагональ одной из боковых граней перпендикулярна плоскости основания. Длина этой диагонали является высотой параллелепипеда $H$.

Следовательно, $H = 13\sqrt{3}$ см.

2. Нахождение площади основания

Основанием является ромб. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей: $S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 d_2$.

Одна из диагоналей ромба дана: $d_1 = 24$ см. Для нахождения площади нам нужно найти вторую диагональ $d_2$. Чтобы найти $d_2$, сначала найдём сторону ромба $a$.

Пусть $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — данный параллелепипед, где $ABCD$ — ромб в основании. Пусть диагональ боковой грани $A_1D$ перпендикулярна плоскости основания $ABCD$. Угол между боковым ребром $AA_1$ и плоскостью основания — это угол между самим ребром $AA_1$ и его проекцией на эту плоскость. Поскольку $A_1D$ — перпендикуляр к плоскости основания, то отрезок $AD$ является проекцией наклонной $AA_1$ на плоскость $ABCD$. Следовательно, угол между боковым ребром и плоскостью основания — это $\angle A_1AD = 60^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle A_1DA$. Он является прямоугольным, так как $A_1D$ перпендикулярен плоскости $ABCD$, а значит и любой прямой в этой плоскости, в том числе и $AD$. Таким образом, $\angle A_1DA = 90^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle A_1DA$ мы знаем катет $A_1D = H = 13\sqrt{3}$ см и угол $\angle A_1AD = 60^\circ$. Найдём сторону ромба $a = AD$ (второй катет):

$\tan(\angle A_1AD) = \frac{A_1D}{AD}$

$\tan(60^\circ) = \frac{13\sqrt{3}}{a}$

$\sqrt{3} = \frac{13\sqrt{3}}{a} \implies a = 13$ см.

Теперь, зная сторону ромба $a = 13$ см и одну из его диагоналей $d_1 = 24$ см, найдём вторую диагональ $d_2$. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба. По теореме Пифагора:

$(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = a^2$

$(\frac{24}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = 13^2$

$12^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = 13^2$

$144 + (\frac{d_2}{2})^2 = 169$

$(\frac{d_2}{2})^2 = 169 - 144 = 25$

$\frac{d_2}{2} = \sqrt{25} = 5$ см

$d_2 = 2 \cdot 5 = 10$ см.

Теперь можем найти площадь основания:

$S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 10 = 120$ см².

3. Нахождение объёма параллелепипеда

Подставим найденные значения площади основания и высоты в формулу объёма:

$V = S_{осн} \cdot H = 120 \cdot 13\sqrt{3} = 1560\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $1560\sqrt{3}$ см³.