Номер 30, страница 134 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 17. Объём тела. Формулы для вычисления объёма призмы. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 30, страница 134.

Условие.

17.30. Через вершины $A$, $C$ и $B_1$ правильной призмы $ABCA_1B_1C_1$ проведена плоскость, образующая с плоскостью основания призмы угол $45^\circ$. Расстояние от точки $B$ до проведённой плоскости равно $3\sqrt{2}$ см. Найдите объём призмы.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $ABCA_1B_1C_1$ — заданная правильная треугольная призма. Это означает, что в основаниях лежат равносторонние треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, а боковые ребра перпендикулярны основаниям. Обозначим сторону основания за $a$ ($AC = a$), а высоту призмы за $h$ ($BB_1 = h$).

Объем призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$. Площадь основания (равностороннего треугольника) равна $S_{ABC} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Плоскость, проходящая через вершины $A$, $C$ и $B_1$, пересекает плоскость основания $ABC$ по прямой $AC$. Угол между двумя плоскостями — это угол между перпендикулярами, проведенными к их линии пересечения.

Проведем в треугольнике $ABC$ медиану и высоту $BM$ к стороне $AC$. Так как $\triangle ABC$ равносторонний, $BM \perp AC$. Длина $BM$ равна $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.Поскольку $BB_1$ перпендикулярно плоскости $ABC$, то $BB_1 \perp BM$. Проекцией наклонной $B_1M$ на плоскость $ABC$ является отрезок $BM$. По теореме о трех перпендикулярах, так как $BM \perp AC$, то и наклонная $B_1M \perp AC$.Следовательно, угол между плоскостью сечения $(ACB_1)$ и плоскостью основания $(ABC)$ — это линейный угол $\angle B_1MB$. По условию, $\angle B_1MB = 45^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BMB_1$ (угол $\angle B$ прямой). Так как $\angle B_1MB = 45^\circ$, то этот треугольник является равнобедренным, и его катеты равны: $BB_1 = BM$.Отсюда получаем связь между высотой призмы и стороной основания: $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Теперь найдем расстояние от точки $B$ до плоскости $(ACB_1)$. Рассмотрим плоскость $(BMB_1)$. Прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $BM$ и $B_1M$ этой плоскости, значит, $AC \perp (BMB_1)$. Так как плоскость сечения $(ACB_1)$ проходит через прямую $AC$, то плоскость $(ACB_1)$ перпендикулярна плоскости $(BMB_1)$.Линия их пересечения — прямая $B_1M$. Расстояние от точки $B$ до плоскости $(ACB_1)$ равно длине перпендикуляра, опущенного из точки $B$ на линию пересечения $B_1M$. Обозначим этот перпендикуляр $BK$, где $K \in B_1M$. Таким образом, $BK$ — это высота в прямоугольном треугольнике $BMB_1$, проведенная к гипотенузе $B_1M$. По условию, $d = BK = 3\sqrt{2}$ см.

Найдем длину гипотенузы $B_1M$ в $\triangle BMB_1$:$B_1M = \frac{BM}{\cos(45^\circ)} = \frac{a\sqrt{3}/2}{\sqrt{2}/2} = \frac{a\sqrt{6}}{2}$.

Площадь треугольника $BMB_1$ можно выразить двумя способами:$S_{BMB_1} = \frac{1}{2} \cdot BM \cdot BB_1 = \frac{1}{2} \cdot B_1M \cdot BK$.Подставим известные выражения:$BM \cdot BB_1 = B_1M \cdot BK$$(\frac{a\sqrt{3}}{2}) \cdot (\frac{a\sqrt{3}}{2}) = (\frac{a\sqrt{6}}{2}) \cdot (3\sqrt{2})$$\frac{3a^2}{4} = \frac{3a\sqrt{12}}{2}$$\frac{3a^2}{4} = \frac{3a \cdot 2\sqrt{3}}{2}$$\frac{3a^2}{4} = 3a\sqrt{3}$Поделим обе части на $3a$ (так как $a \neq 0$):$\frac{a}{4} = \sqrt{3}$$a = 4\sqrt{3}$ см.

Теперь, зная сторону основания $a$, найдем высоту призмы $h$ и площадь основания $S_{ABC}$.Высота призмы:$h = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$ см.Площадь основания:$S_{ABC} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(4\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{16 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{4} = 12\sqrt{3}$ см$^2$.

Наконец, вычислим объем призмы:$V = S_{ABC} \cdot h = 12\sqrt{3} \cdot 6 = 72\sqrt{3}$ см$^3$.

Ответ: $72\sqrt{3}$ см$^3$.