Номер 24, страница 133 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 17. Объём тела. Формулы для вычисления объёма призмы. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 24, страница 133.

Условие.

17.24. Основанием прямого параллелепипеда является ромб, площадь которого равна $S$. Площади диагональных сечений параллелепипеда равны $S_1$ и $S_2$. Найдите объём параллелепипеда.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $V$ — объём параллелепипеда, $S$ — площадь основания (ромба), $S_1$ и $S_2$ — площади диагональных сечений, $h$ — высота параллелепипеда, а $d_1$ и $d_2$ — диагонали ромба в основании.

Объём прямого параллелепипеда вычисляется как произведение площади основания на высоту:
$V = S \cdot h$

Площадь ромба можно выразить через его диагонали:
$S = \frac{1}{2} d_1 d_2$
Из этой формулы следует, что произведение диагоналей равно $d_1 d_2 = 2S$.

Поскольку параллелепипед является прямым, его боковые рёбра перпендикулярны основанию. Это означает, что диагональные сечения представляют собой прямоугольники. Сторонами этих прямоугольников являются диагонали основания ($d_1$ и $d_2$) и высота параллелепипеда ($h$).

Таким образом, площади диагональных сечений равны:
$S_1 = d_1 \cdot h$
$S_2 = d_2 \cdot h$

Перемножим эти два равенства:
$S_1 S_2 = (d_1 \cdot h) \cdot (d_2 \cdot h) = (d_1 d_2) \cdot h^2$

Теперь подставим в полученное выражение ранее найденное значение для $d_1 d_2 = 2S$:
$S_1 S_2 = 2S \cdot h^2$

Выразим из этого уравнения квадрат высоты $h^2$:
$h^2 = \frac{S_1 S_2}{2S}$
Отсюда высота $h$ равна:
$h = \sqrt{\frac{S_1 S_2}{2S}}$

Наконец, найдём объём параллелепипеда, подставив выражение для $h$ в формулу $V = S \cdot h$:
$V = S \cdot \sqrt{\frac{S_1 S_2}{2S}}$

Внесём множитель $S$ под знак корня для упрощения выражения:
$V = \sqrt{S^2 \cdot \frac{S_1 S_2}{2S}} = \sqrt{\frac{S^2 S_1 S_2}{2S}} = \sqrt{\frac{S S_1 S_2}{2}}$

Ответ: $V = \sqrt{\frac{S S_1 S_2}{2}}$