Номер 28, страница 134 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 17. Объём тела. Формулы для вычисления объёма призмы. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 28, страница 134.

Условие.

17.28. Основанием наклонной призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является квадрат $ABCD$ со стороной $a$, боковое ребро призмы равно $\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Вершина $A_1$ призмы равноудалена от сторон квадрата $ABCD$. Найдите объём призмы.

Решение 1.

Решение 3.

Объем наклонной призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

Основанием призмы является квадрат $ABCD$ со стороной $a$. Следовательно, площадь основания равна:

$S_{осн} = a^2$

Высота призмы $H$ — это длина перпендикуляра, опущенного из вершины верхнего основания на плоскость нижнего основания. Опустим высоту из вершины $A_1$ на плоскость $ABCD$. Пусть $O$ — основание этой высоты (проекция точки $A_1$ на плоскость $ABCD$), тогда $H = A_1O$.

По условию, вершина $A_1$ равноудалена от сторон квадрата $ABCD$. Это означает, что расстояния от точки $A_1$ до прямых, содержащих стороны квадрата ($AB$, $BC$, $CD$ и $DA$), равны. По теореме о трех перпендикулярах, если наклонные, проведенные из точки $A_1$ к этим прямым, равны, то равны и их проекции на плоскость $ABCD$. Проекции этих наклонных — это перпендикуляры, опущенные из точки $O$ на стороны квадрата. Таким образом, точка $O$ в плоскости основания равноудалена от всех сторон квадрата. Единственная точка внутри квадрата, обладающая таким свойством, — это его центр (точка пересечения диагоналей). Следовательно, $O$ — центр квадрата $ABCD$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle A_1OA$, образованный боковым ребром $A_1A$, высотой призмы $A_1O$ и отрезком $AO$.

• Гипотенуза $A_1A$ — это боковое ребро призмы, длина которого по условию равна $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
• Катет $A_1O$ — это искомая высота призмы $H$.
• Катет $AO$ — это расстояние от вершины квадрата до его центра, то есть половина диагонали.

Длина диагонали квадрата $AC$ со стороной $a$ равна $a\sqrt{2}$. Тогда длина отрезка $AO$ равна:

$AO = \frac{1}{2}AC = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Теперь по теореме Пифагора для треугольника $\triangle A_1OA$ найдем высоту $H$:

$A_1A^2 = A_1O^2 + AO^2$

$H^2 = A_1A^2 - AO^2$

$H^2 = \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 - \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{a^2 \cdot 3}{4} - \frac{a^2 \cdot 2}{4} = \frac{3a^2 - 2a^2}{4} = \frac{a^2}{4}$

Отсюда $H = \sqrt{\frac{a^2}{4}} = \frac{a}{2}$.

Зная площадь основания и высоту, вычисляем объем призмы:

$V = S_{осн} \cdot H = a^2 \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^3}{2}$

Ответ: $\frac{a^3}{2}$.