Номер 35, страница 135 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 17. Объём тела. Формулы для вычисления объёма призмы. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 35, страница 135.

Условие.

17.35. Основанием наклонной призмы является правильный треугольник со стороной 2 см. Боковое ребро призмы равно 5 см и образует с двумя соседними сторонами основания углы по $60^\circ$. Найдите объём призмы.

Решение 1.

Решение 3.

Объем наклонной призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

1. Найдем площадь основания.

Основанием призмы является правильный (равносторонний) треугольник со стороной $a = 2$ см. Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

Подставим значение стороны $a = 2$ см:

$S_{осн} = \frac{2^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{4 \sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$ см².

2. Найдем высоту призмы.

Высота призмы $H$ — это расстояние между плоскостями оснований. Пусть основание $ABC$ лежит в плоскости $Oxy$. Введем систему координат с началом в вершине $A$.

Пусть $A = (0, 0, 0)$.

Так как сторона основания $a=2$, направим ось $Ox$ вдоль стороны $AB$. Тогда координаты вершины $B$ будут $B = (2, 0, 0)$.

Вершина $C$ имеет координаты $C = (2 \cos(60^\circ), 2 \sin(60^\circ), 0) = (1, \sqrt{3}, 0)$.

Пусть боковое ребро, выходящее из вершины $A$, будет $AA_1$. Длина этого ребра $l = |AA_1| = 5$ см. Пусть координаты вершины $A_1$ будут $(x, y, z)$. Тогда высота призмы $H$ равна модулю координаты $z$, то есть $H=|z|$.

По условию, боковое ребро образует с двумя соседними сторонами основания $AB$ и $AC$ углы по $60^\circ$. Это означает, что угол между вектором $\vec{AA_1} = (x, y, z)$ и векторами $\vec{AB} = (2, 0, 0)$ и $\vec{AC} = (1, \sqrt{3}, 0)$ равен $60^\circ$.

Используем формулу скалярного произведения векторов $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cos\alpha$:

Для стороны $AB$:

$\vec{AA_1} \cdot \vec{AB} = |AA_1| \cdot |AB| \cos(60^\circ)$

$(x, y, z) \cdot (2, 0, 0) = 5 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2}$

$2x = 5 \implies x = \frac{5}{2}$

Для стороны $AC$:

$\vec{AA_1} \cdot \vec{AC} = |AA_1| \cdot |AC| \cos(60^\circ)$

$(x, y, z) \cdot (1, \sqrt{3}, 0) = 5 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2}$

$x + y\sqrt{3} = 5$

Подставим найденное значение $x = \frac{5}{2}$ во второе уравнение:

$\frac{5}{2} + y\sqrt{3} = 5$

$y\sqrt{3} = 5 - \frac{5}{2} = \frac{5}{2}$

$y = \frac{5}{2\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{6}$

Координата $z$ (высота $H$) находится из условия, что длина бокового ребра равна 5:

$|AA_1|^2 = x^2 + y^2 + z^2 = 5^2 = 25$

$H^2 = z^2 = 25 - x^2 - y^2 = 25 - (\frac{5}{2})^2 - (\frac{5\sqrt{3}}{6})^2$

$H^2 = 25 - \frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 3}{36} = 25 - \frac{25}{4} - \frac{75}{36} = 25 - \frac{25}{4} - \frac{25}{12}$

$H^2 = 25 - (\frac{75}{12} + \frac{25}{12}) = 25 - \frac{100}{12} = 25 - \frac{25}{3}$

$H^2 = \frac{75 - 25}{3} = \frac{50}{3}$

$H = \sqrt{\frac{50}{3}} = \frac{\sqrt{25 \cdot 2}}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{6}}{3}$ см.

3. Найдем объем призмы.

Теперь, зная площадь основания и высоту, мы можем вычислить объем призмы:

$V = S_{осн} \cdot H = \sqrt{3} \cdot \frac{5\sqrt{6}}{3}$

$V = \frac{5\sqrt{3 \cdot 6}}{3} = \frac{5\sqrt{18}}{3} = \frac{5\sqrt{9 \cdot 2}}{3} = \frac{5 \cdot 3\sqrt{2}}{3} = 5\sqrt{2}$ см³.

Ответ: $5\sqrt{2}$ см³.