Номер 37, страница 135 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 17. Объём тела. Формулы для вычисления объёма призмы. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 37, страница 135.

Условие.

17.37. Основанием наклонной призмы является правильный треугольник со стороной 3 см. Одна из боковых граней перпендикулярна плоскости основания и является ромбом с диагональю 4 см. Найдите объём призмы.

Решение 1.

Решение 3.

Объем призмы $V$ вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

1. Найдем площадь основания призмы ($S_{осн}$).

Основанием является правильный (равносторонний) треугольник со стороной $a = 3$ см. Площадь равностороннего треугольника находится по формуле:

$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Подставим значение стороны $a = 3$ см:

$S_{осн} = \frac{3^2\sqrt{3}}{4} = \frac{9\sqrt{3}}{4}$ см².

2. Найдем высоту призмы ($H$).

По условию, одна из боковых граней перпендикулярна плоскости основания и является ромбом. Одна из сторон этого ромба совпадает со стороной основания, поэтому длина стороны ромба также равна $b = 3$ см.

Поскольку плоскость этой боковой грани-ромба перпендикулярна плоскости основания, высота призмы $H$ совпадает с высотой этого ромба, опущенной на сторону, лежащую в основании.

Найдем высоту ромба. Нам известна его сторона $b=3$ см и одна из диагоналей $d_1 = 4$ см. Площадь ромба можно вычислить, зная его диагонали. Найдем вторую диагональ $d_2$. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного половинами диагоналей и стороной ромба, имеем:

$(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = b^2$

$(\frac{4}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = 3^2$

$2^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = 9$

$4 + \frac{d_2^2}{4} = 9$

$\frac{d_2^2}{4} = 5$

$d_2^2 = 20 \implies d_2 = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ см.

Теперь найдем площадь ромба $S_{ромба}$:

$S_{ромба} = \frac{1}{2}d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2\sqrt{5} = 4\sqrt{5}$ см².

С другой стороны, площадь ромба равна произведению его стороны на высоту $H$ (которая является и высотой призмы):

$S_{ромба} = b \cdot H$

$4\sqrt{5} = 3 \cdot H$

Отсюда находим высоту призмы:

$H = \frac{4\sqrt{5}}{3}$ см.

3. Найдем объем призмы ($V$).

Подставим найденные значения площади основания и высоты в формулу для объема призмы:

$V = S_{осн} \cdot H = \frac{9\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{4\sqrt{5}}{3}$

Сокращаем дроби:

$V = \frac{9 \cdot 4 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{5}}{4 \cdot 3} = \frac{36\sqrt{15}}{12} = 3\sqrt{15}$ см³.

Ответ: $3\sqrt{15}$ см³.