Номер 1, страница 139 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 18. Формулы для вычисления объёмов пирамиды и усечённой пирамиды. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 1, страница 139.

Условие.

18.1. Найдите объём пирамиды:

1) основанием которой является квадрат со стороной 2 см, а высота пирамиды равна 2 см;

2) основанием которой является ромб с диагоналями 2 см и 3 см, а высота пирамиды равна 10 см;

3) основанием которой является треугольник со сторонами 6 см и 9 см и углом 30° между ними, а высота пирамиды равна 12 см.

Решение 1.

Решение 3.

Для нахождения объёма пирамиды используется формула: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

1) основанием которой является квадрат со стороной 2 см, а высота пирамиды равна 2 см;

Сначала найдём площадь основания. Так как основание — квадрат со стороной $a = 2$ см, его площадь равна:

$S_{осн} = a^2 = 2^2 = 4$ см².

Высота пирамиды $H = 2$ см. Теперь можем вычислить объём пирамиды:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 4 \cdot 2 = \frac{8}{3} = 2 \frac{2}{3}$ см³.

Ответ: $2 \frac{2}{3}$ см³.

2) основанием которой является ромб с диагоналями 2 см и 3 см, а высота пирамиды равна 10 см;

Найдём площадь основания, которое является ромбом с диагоналями $d_1 = 2$ см и $d_2 = 3$ см. Площадь ромба вычисляется как половина произведения его диагоналей:

$S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 = 3$ см².

Высота пирамиды $H = 10$ см. Вычислим объём пирамиды:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot 10 = 10$ см³.

Ответ: 10 см³.

3) основанием которой является треугольник со сторонами 6 см и 9 см и углом 30° между ними, а высота пирамиды равна 12 см.

Найдём площадь основания, которое является треугольником. Площадь треугольника можно найти по формуле через две стороны $a = 6$ см, $b = 9$ см и угол $\gamma = 30°$ между ними:

$S_{осн} = \frac{1}{2} ab \sin(\gamma)$

Поскольку $\sin(30°) = \frac{1}{2}$, подставим значения:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 9 \cdot \frac{1}{2} = \frac{54}{4} = 13,5$ см².

Высота пирамиды $H = 12$ см. Вычислим объём пирамиды:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 13,5 \cdot 12 = 13,5 \cdot 4 = 54$ см³.

Ответ: 54 см³.