Номер 3, страница 139 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 18. Формулы для вычисления объёмов пирамиды и усечённой пирамиды. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 3, страница 139.

Условие.

18.3. Основанием пирамиды является прямоугольник, стороны которого относятся как 2 : 3, высота пирамиды равна 5 см, а объём – 90 $см^3$.

Найдите периметр основания пирамиды.

Решение 1.

Решение 3.

Объём пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.

По условию задачи, объём пирамиды $V = 90$ см³, а высота $h = 5$ см. Подставим эти значения в формулу и найдём площадь основания $S_{осн}$:

$90 = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot 5$

Отсюда выразим $S_{осн}$:

$S_{осн} = \frac{90 \cdot 3}{5} = \frac{270}{5} = 54$ см².

Основанием пирамиды является прямоугольник. Обозначим его стороны как $a$ и $b$. Площадь прямоугольника равна произведению его сторон: $S_{осн} = a \cdot b$.

Из условия известно, что стороны прямоугольника относятся как $2:3$. Это можно записать как $a = 2x$ и $b = 3x$, где $x$ — коэффициент пропорциональности.

Подставим эти выражения в формулу площади основания:

$S_{осн} = (2x) \cdot (3x) = 6x^2$

Так как мы уже нашли, что $S_{осн} = 54$ см², составим уравнение:

$6x^2 = 54$

$x^2 = \frac{54}{6}$

$x^2 = 9$

Поскольку длина стороны не может быть отрицательной, $x = \sqrt{9} = 3$ см.

Теперь найдём длины сторон прямоугольника:

$a = 2x = 2 \cdot 3 = 6$ см

$b = 3x = 3 \cdot 3 = 9$ см

Периметр прямоугольника $P$ вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$.

Подставим найденные значения сторон:

$P = 2(6 + 9) = 2 \cdot 15 = 30$ см.

Ответ: 30 см.