Номер 10, страница 140 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 18. Формулы для вычисления объёмов пирамиды и усечённой пирамиды. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 10, страница 140.

Условие.

18.10. Деревянный куб, ребро которого равно 12 см, распилили на две части: треугольную пирамиду и семигранник (рис. 18.9). Найдите объём семигранника, если плоскость распила проходит через середины трёх рёбер куба, имеющих общую вершину.

Рис. 18.8

$A_1$, $B_1$, $C_1$, $D$, $A$, $B$, $C$

Рис. 18.9

Решение 1.

Решение 3.

Для решения задачи необходимо найти объём исходного куба и вычесть из него объём отпиленной части, которая представляет собой треугольную пирамиду. Оставшаяся часть и будет искомым семигранником.

1. Найдём объём исходного куба.
Длина ребра куба по условию равна $a = 12$ см. Объём куба ($V_{куба}$) вычисляется по формуле:$V_{куба} = a^3$Подставим значение $a$:$V_{куба} = 12^3 = 1728 \text{ см}^3$.

2. Найдём объём отпиленной треугольной пирамиды.
Плоскость распила проходит через середины трёх рёбер, имеющих общую вершину. Это значит, что у отпиленной пирамиды три ребра, выходящие из этой общей вершины, взаимно перпендикулярны. Длина каждого из этих рёбер равна половине длины ребра куба. Обозначим их длину как $b$:$b = \frac{a}{2} = \frac{12}{2} = 6 \text{ см}$.В качестве основания такой пирамиды можно взять прямоугольный треугольник, лежащий на одной из граней куба. Его катеты равны $b$. Площадь основания ($S_{осн}$) будет:$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 = 18 \text{ см}^2$.Высота пирамиды ($h$) будет равна третьему ребру, перпендикулярному основанию, то есть $h = b = 6$ см.Объём пирамиды ($V_{пирамиды}$) вычисляется по формуле:$V_{пирамиды} = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$$V_{пирамиды} = \frac{1}{3} \cdot 18 \cdot 6 = 36 \text{ см}^3$.

3. Найдём объём семигранника.
Объём семигранника ($V_{семигранника}$) — это разность объёмов куба и отпиленной от него пирамиды:$V_{семигранника} = V_{куба} - V_{пирамиды}$$V_{семигранника} = 1728 - 36 = 1692 \text{ см}^3$.

Ответ: $1692 \text{ см}^3$.