Номер 12, страница 140 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 18. Формулы для вычисления объёмов пирамиды и усечённой пирамиды. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 12, страница 140.

Условие.

18.12. Найдите объём правильной треугольной усечённой пирамиды, стороны оснований которой равны 5 см и 10 см, а высота – 9 см.

Решение 1.

Решение 3.

Объём правильной усечённой пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3}h(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})$, где $h$ – высота пирамиды, а $S_1$ и $S_2$ – площади её оснований.

В основании правильной треугольной пирамиды лежит правильный (равносторонний) треугольник. Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ находится по формуле: $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

По условию задачи даны стороны оснований $a_1 = 10$ см и $a_2 = 5$ см, а также высота $h = 9$ см.

1. Найдём площадь большего основания ($S_1$) со стороной $a_1 = 10$ см:

$S_1 = \frac{10^2\sqrt{3}}{4} = \frac{100\sqrt{3}}{4} = 25\sqrt{3}$ см².

2. Найдём площадь меньшего основания ($S_2$) со стороной $a_2 = 5$ см:

$S_2 = \frac{5^2\sqrt{3}}{4} = \frac{25\sqrt{3}}{4}$ см².

3. Теперь подставим все известные значения в формулу для объёма усечённой пирамиды:

$V = \frac{1}{3} \cdot 9 \cdot (25\sqrt{3} + \frac{25\sqrt{3}}{4} + \sqrt{25\sqrt{3} \cdot \frac{25\sqrt{3}}{4}})$

Сначала вычислим выражение под корнем:

$\sqrt{25\sqrt{3} \cdot \frac{25\sqrt{3}}{4}} = \sqrt{\frac{625 \cdot (\sqrt{3})^2}{4}} = \sqrt{\frac{625 \cdot 3}{4}} = \frac{\sqrt{625}\sqrt{3}}{\sqrt{4}} = \frac{25\sqrt{3}}{2}$.

Продолжим вычисление объёма:

$V = 3 \cdot (25\sqrt{3} + \frac{25\sqrt{3}}{4} + \frac{25\sqrt{3}}{2})$

Приведём слагаемые в скобках к общему знаменателю 4:

$V = 3 \cdot (\frac{4 \cdot 25\sqrt{3}}{4} + \frac{25\sqrt{3}}{4} + \frac{2 \cdot 25\sqrt{3}}{4}) = 3 \cdot (\frac{100\sqrt{3} + 25\sqrt{3} + 50\sqrt{3}}{4})$

$V = 3 \cdot \frac{175\sqrt{3}}{4} = \frac{525\sqrt{3}}{4}$ см³.

Ответ: $\frac{525\sqrt{3}}{4}$ см³.