Номер 9, страница 140 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 18. Формулы для вычисления объёмов пирамиды и усечённой пирамиды. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 9, страница 140.

Условие.

18.9. Объем прямой призмы $ABCA_1B_1C_1$, изображённой на рисунке 18.8, равен $V$. Точка $D$ – середина ребра $AA_1$. Найдите объём пирамиды $DABC$.

Рис. 18.8

Решение 1.

Решение 3.

Объем прямой призмы вычисляется по формуле $V_{призмы} = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота. В данной призме $ABCA_1B_1C_1$ основанием является треугольник $ABC$, а высотой (поскольку призма прямая) — боковое ребро $AA_1$. Следовательно, по условию, объем призмы $V = S_{ABC} \cdot AA_1$.

Теперь рассмотрим пирамиду $DABC$. Объем пирамиды вычисляется по формуле $V_{пирамиды} = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

Основанием пирамиды $DABC$ является треугольник $ABC$, то есть площадь ее основания совпадает с площадью основания призмы: $S_{осн} = S_{ABC}$.

Высотой пирамиды $H$ является перпендикуляр, опущенный из ее вершины $D$ на плоскость основания $ABC$. Так как призма прямая, ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Поскольку точка $D$ принадлежит ребру $AA_1$, отрезок $DA$ является высотой пирамиды $DABC$.

По условию задачи, точка $D$ — середина ребра $AA_1$. Это означает, что длина высоты пирамиды $H$ равна половине длины ребра $AA_1$: $H = DA = \frac{1}{2} AA_1$.

Подставим найденные значения в формулу для объема пирамиды: $V_{DABC} = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot H = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot \left(\frac{1}{2} AA_1\right)$.

Сгруппировав множители, получим: $V_{DABC} = \frac{1}{6} (S_{ABC} \cdot AA_1)$.

Так как объем призмы $V = S_{ABC} \cdot AA_1$, мы можем выразить объем пирамиды через $V$: $V_{DABC} = \frac{1}{6} V$.

Ответ: $\frac{V}{6}$.