Номер 8, страница 139 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 18. Формулы для вычисления объёмов пирамиды и усечённой пирамиды. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 8, страница 139.

Условие.

18.8. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 6 см, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол $45^\circ$. Найдите объём пирамиды.

Решение 1.

Решение 3.

Для нахождения объёма пирамиды используется формула:

$$ V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H $$

где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

1. Найдём площадь основания.

В основании правильной треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник. Сторона основания по условию равна $a = 6$ см. Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле:

$$ S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} $$

Подставим известные значения:

$$ S_{осн} = \frac{6^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{36 \sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3} \text{ см}^2 $$

2. Найдём высоту пирамиды.

Высота правильной пирамиды ($H$) опускается из вершины в центр основания. Угол между боковым ребром и плоскостью основания — это угол между ребром и его проекцией на эту плоскость. Проекцией бокового ребра на основание является радиус ($R$) описанной около основания окружности.

Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной $a$, вычисляется по формуле:

$$ R = \frac{a}{\sqrt{3}} $$

Подставим значение $a = 6$ см:

$$ R = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \text{ см} $$

Высота пирамиды $H$, радиус $R$ и боковое ребро образуют прямоугольный треугольник, в котором $H$ и $R$ — катеты. Угол между боковым ребром и его проекцией (радиусом $R$) по условию равен $45^\circ$.

В прямоугольном треугольнике тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

$$ \tan(45^\circ) = \frac{H}{R} $$

Поскольку $\tan(45^\circ) = 1$, то $H = R$.

$$ H = 2\sqrt{3} \text{ см} $$

3. Вычислим объём пирамиды.

Теперь подставим найденные значения площади основания и высоты в формулу объёма:

$$ V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 9\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} $$

$$ V = 3\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = 6 \cdot (\sqrt{3})^2 = 6 \cdot 3 = 18 \text{ см}^3 $$

Ответ: $18 \text{ см}^3$.