Номер 11, страница 140 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 18. Формулы для вычисления объёмов пирамиды и усечённой пирамиды. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 11, страница 140.

Условие.

18.11. Основаниями усечённой пирамиды, высота которой равна 6 см, являются прямоугольники. Стороны одного основания равны 12 см и 16 см, а меньшая сторона другого – 3 см. Найдите объём усечённой пирамиды.

Решение 1.

Решение 3.

Объём усечённой пирамиды вычисляется по формуле:$V = \frac{1}{3}h(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})$, где $h$ – высота, а $S_1$ и $S_2$ – площади оснований.

Из условия задачи известны:

• Высота усечённой пирамиды $h = 6$ см.
• Основания являются прямоугольниками.
• Стороны одного (большего) основания равны 12 см и 16 см.
• Меньшая сторона другого (меньшего) основания равна 3 см.

1. Найдём площадь большего основания $S_1$.

Стороны большего основания равны $a_1 = 16$ см и $b_1 = 12$ см.$S_1 = a_1 \cdot b_1 = 16 \text{ см} \cdot 12 \text{ см} = 192 \text{ см}^2$.

2. Найдём площадь меньшего основания $S_2$.

Основания усечённой пирамиды являются подобными многоугольниками. Следовательно, прямоугольники в основаниях подобны, и отношение их соответствующих сторон равно.Пусть стороны меньшего основания равны $a_2$ и $b_2$. Меньшая сторона большего основания $b_1 = 12$ см, большая $a_1 = 16$ см.По условию, меньшая сторона меньшего основания равна 3 см. Она соответствует меньшей стороне большего основания. Таким образом, $b_2 = 3$ см.

Коэффициент подобия $k$ равен отношению соответствующих сторон:$k = \frac{b_2}{b_1} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$.

Теперь найдём вторую, большую, сторону меньшего основания $a_2$, используя тот же коэффициент подобия:$\frac{a_2}{a_1} = k \Rightarrow a_2 = k \cdot a_1 = \frac{1}{4} \cdot 16 = 4$ см.

Стороны меньшего основания равны 3 см и 4 см. Найдём его площадь:$S_2 = a_2 \cdot b_2 = 4 \text{ см} \cdot 3 \text{ см} = 12 \text{ см}^2$.

3. Вычислим объём усечённой пирамиды $V$.

Подставим все известные значения в формулу объёма: $h = 6$, $S_1 = 192$, $S_2 = 12$.$V = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot (192 + 12 + \sqrt{192 \cdot 12})$

Сначала вычислим значение подкоренного выражения:$\sqrt{192 \cdot 12} = \sqrt{2304} = 48$.

Теперь подставим это значение обратно в формулу:$V = 2 \cdot (192 + 12 + 48)$$V = 2 \cdot (204 + 48)$$V = 2 \cdot 252$$V = 504 \text{ см}^3$.

Ответ: $504 \text{ см}^3$.