Номер 17, страница 140 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 18. Формулы для вычисления объёмов пирамиды и усечённой пирамиды. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 17, страница 140.

Условие.

18.17. Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды равно $b$ и образует со стороной основания угол $\alpha$. Найдите объём пирамиды.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дана правильная четырёхугольная пирамида, в основании которой лежит квадрат $ABCD$, а вершина — точка $S$. Боковое ребро по условию равно $b$. Все боковые рёбра правильной пирамиды равны, то есть $SA = SB = SC = SD = b$. Угол между боковым ребром и стороной основания равен $\alpha$. Рассмотрим боковую грань — треугольник $SAB$. Он является равнобедренным ($SA = SB = b$), следовательно, углы при основании равны: $\angle SAB = \angle SBA = \alpha$.

Объём пирамиды находится по формуле:$V = \frac{1}{3}S_{осн}H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

Для нахождения объёма необходимо определить сторону основания $a$ и высоту пирамиды $H$.

1. Нахождение стороны основания (a).
Рассмотрим равнобедренный треугольник $SAB$. Проведём в нём высоту $SM$ к стороне $AB$. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также медианой, поэтому точка $M$ — середина $AB$, и $MB = \frac{a}{2}$.
В прямоугольном треугольнике $SMB$ катет $MB$ и гипотенуза $SB$ связаны через косинус угла $\angle SBA$:
$\cos(\alpha) = \frac{MB}{SB} = \frac{a/2}{b}$
Отсюда выражаем сторону основания $a$:
$a = 2b \cos(\alpha)$

2. Нахождение площади основания ($S_{осн}$).
Основанием является квадрат со стороной $a$. Его площадь:
$S_{осн} = a^2 = (2b \cos(\alpha))^2 = 4b^2 \cos^2(\alpha)$

3. Нахождение высоты пирамиды (H).
Высота $H$ правильной пирамиды (отрезок $SO$) опускается из вершины $S$ в центр квадрата $O$, который является точкой пересечения диагоналей. Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$. Гипотенуза $SA = b$, катет $SO = H$, а второй катет $AO$ равен половине диагонали квадрата $AC$.
Длина диагонали квадрата со стороной $a$ равна $d = a\sqrt{2}$.
Следовательно, $AO = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.
По теореме Пифагора для треугольника $SOA$:
$H^2 = SA^2 - AO^2 = b^2 - \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = b^2 - \frac{2a^2}{4} = b^2 - \frac{a^2}{2}$
Подставим в это выражение найденное значение $a = 2b \cos(\alpha)$:
$H^2 = b^2 - \frac{(2b \cos(\alpha))^2}{2} = b^2 - \frac{4b^2 \cos^2(\alpha)}{2} = b^2 - 2b^2 \cos^2(\alpha) = b^2(1 - 2\cos^2(\alpha))$
Используя тригонометрическую формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = 2\cos^2(\alpha) - 1$, мы можем переписать выражение в скобках как $1 - 2\cos^2(\alpha) = -\cos(2\alpha)$.
$H^2 = -b^2 \cos(2\alpha)$
Для того чтобы высота была действительным числом, подкоренное выражение должно быть положительным, то есть $-\cos(2\alpha) > 0$, что означает $\cos(2\alpha) < 0$. Это условие выполняется, когда $45^\circ < \alpha < 90^\circ$.
Таким образом, высота $H$:
$H = \sqrt{-b^2 \cos(2\alpha)} = b\sqrt{-\cos(2\alpha)}$

4. Вычисление объёма пирамиды (V).
Теперь подставим найденные значения $S_{осн}$ и $H$ в формулу для объёма:
$V = \frac{1}{3} S_{осн} H = \frac{1}{3} \cdot (4b^2 \cos^2(\alpha)) \cdot (b\sqrt{-\cos(2\alpha)})$
$V = \frac{4}{3}b^3 \cos^2(\alpha) \sqrt{-\cos(2\alpha)}$

Ответ: $V = \frac{4}{3}b^3 \cos^2(\alpha) \sqrt{-\cos(2\alpha)}$