Номер 21, страница 141 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 18. Формулы для вычисления объёмов пирамиды и усечённой пирамиды. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 21, страница 141.

Условие.

18.21. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник, боковая сторона которого равна $b$. Угол между боковыми сторонами основания пирамиды равен $\beta$. Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью её основания угол $\alpha$. Найдите объём пирамиды.

Решение 1.

Решение 3.

Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}S_{осн}H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

1. Нахождение площади основания

Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с боковыми сторонами, равными $b$, и углом между ними $\beta$. Площадь такого треугольника находится по формуле площади треугольника через две стороны и угол между ними:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot b \cdot \sin\beta = \frac{1}{2}b^2\sin\beta$.

2. Нахождение высоты пирамиды

По условию, каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания один и тот же угол $\alpha$. Это свойство означает, что вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около треугольника основания. Обозначим радиус этой окружности как $R$.

Высота пирамиды $H$, радиус описанной окружности $R$ (который является проекцией бокового ребра на плоскость основания) и само боковое ребро образуют прямоугольный треугольник. Угол между боковым ребром и его проекцией равен $\alpha$. В этом треугольнике справедливо соотношение:

$\tan\alpha = \frac{H}{R}$, откуда следует, что $H = R\tan\alpha$.

Чтобы найти $H$, нам необходимо сначала найти радиус $R$ описанной окружности основания. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны $\frac{180^\circ - \beta}{2} = 90^\circ - \frac{\beta}{2}$. Воспользуемся следствием из теоремы синусов:

$\frac{b}{\sin(90^\circ - \frac{\beta}{2})} = 2R$

Поскольку $\sin(90^\circ - \frac{\beta}{2}) = \cos\frac{\beta}{2}$, получаем:

$\frac{b}{\cos\frac{\beta}{2}} = 2R$

Отсюда находим радиус:

$R = \frac{b}{2\cos\frac{\beta}{2}}$.

Теперь можем найти высоту пирамиды:

$H = R\tan\alpha = \frac{b\tan\alpha}{2\cos\frac{\beta}{2}}$.

3. Вычисление объема пирамиды

Подставим найденные выражения для площади основания $S_{осн}$ и высоты $H$ в формулу объема пирамиды:

$V = \frac{1}{3}S_{осн}H = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2}b^2\sin\beta\right) \cdot \left(\frac{b\tan\alpha}{2\cos\frac{\beta}{2}}\right) = \frac{b^3\sin\beta\tan\alpha}{12\cos\frac{\beta}{2}}$.

Для упрощения выражения используем формулу синуса двойного угла: $\sin\beta = 2\sin\frac{\beta}{2}\cos\frac{\beta}{2}$.

$V = \frac{b^3(2\sin\frac{\beta}{2}\cos\frac{\beta}{2})\tan\alpha}{12\cos\frac{\beta}{2}}$.

Сократив $\cos\frac{\beta}{2}$ в числителе и знаменателе, получаем окончательное выражение для объема:

$V = \frac{2b^3\sin\frac{\beta}{2}\tan\alpha}{12} = \frac{1}{6}b^3\sin\frac{\beta}{2}\tan\alpha$.

Ответ: $V = \frac{1}{6}b^3\sin\frac{\beta}{2}\tan\alpha$.