Номер 23, страница 141 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 18. Формулы для вычисления объёмов пирамиды и усечённой пирамиды. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 23, страница 141.

Условие.

18.23. Основанием пирамиды является трапеция, параллельные стороны которой равны 4 см и 10 см. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $45^{\circ}$, а объём пирамиды равен $\frac{280}{3}$ $см^3$. Найдите высоту пирамиды.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть основанием пирамиды является трапеция с параллельными сторонами $a = 10$ см и $b = 4$ см. Высоту пирамиды обозначим как $H$.

По условию, все двугранные углы при ребрах основания равны $45^\circ$. Это свойство означает, что вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание. Следовательно, в трапецию, лежащую в основании, можно вписать окружность.

Пусть $r$ — радиус вписанной в основание окружности. Рассмотрим сечение пирамиды, проходящее через ее высоту $H$ и апофему боковой грани. Это сечение представляет собой прямоугольный треугольник, катетами которого являются высота пирамиды $H$ и радиус вписанной окружности $r$. Угол, противолежащий катету $H$, равен заданному двугранному углу $45^\circ$.

Из соотношений в этом прямоугольном треугольнике имеем:

$\tan(45^\circ) = \frac{H}{r}$

Поскольку $\tan(45^\circ) = 1$, то $H = r$.

Высота трапеции, в которую можно вписать окружность, равна диаметру этой окружности. Обозначим высоту трапеции как $h_{trap}$:

$h_{trap} = 2r$

Так как $H = r$, то высоту трапеции можно выразить через высоту пирамиды:

$h_{trap} = 2H$

Площадь основания пирамиды $S_{base}$ (площадь трапеции) вычисляется по формуле:

$S_{base} = \frac{a+b}{2} \cdot h_{trap} = \frac{10+4}{2} \cdot 2H = 7 \cdot 2H = 14H$

Объем пирамиды $V$ определяется формулой:

$V = \frac{1}{3} S_{base} \cdot H$

Подставим в эту формулу известное значение объема $V = \frac{280}{3}$ см³ и полученное выражение для площади основания:

$\frac{280}{3} = \frac{1}{3} \cdot (14H) \cdot H$

$\frac{280}{3} = \frac{14H^2}{3}$

Решим полученное уравнение относительно $H$:

$280 = 14H^2$

$H^2 = \frac{280}{14}$

$H^2 = 20$

$H = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$

Ответ: $2\sqrt{5}$ см.