Номер 26, страница 141 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 18. Формулы для вычисления объёмов пирамиды и усечённой пирамиды. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 26, страница 141.

Условие.

18.26. Прямоугольник $ABCD$ – основание пирамиды $MABCD$. Грани $ABM$ и $CBM$ перпендикулярны основанию пирамиды, грань $ADM$ образует с основанием угол $60^\circ$, грань $CDM$ – угол $30^\circ$. Высота пирамиды равна $3\sqrt{3}$ см. Найдите объём пирамиды.

Решение 1.

Решение 3.

По условию, грани $ABM$ и $CBM$ перпендикулярны плоскости основания $ABCD$. Если две плоскости, перпендикулярные третьей плоскости, пересекаются, то их линия пересечения также перпендикулярна этой плоскости. Линией пересечения плоскостей $ABM$ и $CBM$ является ребро $BM$. Следовательно, ребро $BM$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$ и является высотой пирамиды.

Таким образом, высота пирамиды $H = BM = 3\sqrt{3}$ см.

Угол между боковой гранью и плоскостью основания – это двугранный угол. Его величину измеряют линейным углом, который образуется двумя перпендикулярами, проведенными к ребру двугранного угла в его гранях.

Для грани $ADM$ и основания $ABCD$ ребром является $AD$. Поскольку $ABCD$ – прямоугольник, то $AB \perp AD$. Так как $BM$ – высота ($BM \perp (ABCD)$), то $AB$ является проекцией наклонной $MA$ на плоскость основания. По теореме о трех перпендикулярах, если проекция прямой ($AB$) перпендикулярна другой прямой на плоскости ($AD$), то и сама наклонная ($MA$) перпендикулярна этой прямой ($AD$). Значит, $MA \perp AD$.
Таким образом, $\angle MAB$ – это линейный угол двугранного угла между гранью $ADM$ и основанием. По условию, $\angle MAB = 60^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABM$ (угол $\angle ABM = 90^\circ$, так как $BM \perp (ABCD)$ и $AB \in (ABCD)$). Найдем сторону основания $AB$:

$tg(\angle MAB) = \frac{BM}{AB} \implies AB = \frac{BM}{tg(\angle MAB)}$

$AB = \frac{3\sqrt{3}}{tg(60^\circ)} = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 3$ см.

Аналогично для грани $CDM$ и основания $ABCD$ ребром является $CD$. В основании $BC \perp CD$. $BC$ является проекцией наклонной $MC$ на плоскость основания. По теореме о трех перпендикулярах, $MC \perp CD$.
Таким образом, $\angle MCB$ – это линейный угол двугранного угла между гранью $CDM$ и основанием. По условию, $\angle MCB = 30^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CBM$ (угол $\angle CBM = 90^\circ$). Найдем сторону основания $BC$:

$tg(\angle MCB) = \frac{BM}{BC} \implies BC = \frac{BM}{tg(\angle MCB)}$

$BC = \frac{3\sqrt{3}}{tg(30^\circ)} = \frac{3\sqrt{3}}{1/\sqrt{3}} = 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 9$ см.

Теперь мы можем найти площадь основания пирамиды – прямоугольника $ABCD$:

$S_{ABCD} = AB \cdot BC = 3 \cdot 9 = 27$ см$^2$.

Объём пирамиды вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} S_{ABCD} \cdot BM$

$V = \frac{1}{3} \cdot 27 \cdot 3\sqrt{3} = 27\sqrt{3}$ см$^3$.

Ответ: $27\sqrt{3}$ см$^3$.