Номер 31, страница 142 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 18. Формулы для вычисления объёмов пирамиды и усечённой пирамиды. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 31, страница 142.

Условие.

18.31. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 12 см, а двугранный угол пирамиды при ребре основания равен $60^\circ$. Высота пирамиды разделена на 3 равные части, и через точки деления проведены плоскости, параллельные основанию. Найдите объём усечённой пирамиды, заключённой между этими плоскостями.

Решение 1.

Решение 3.

Для решения задачи сначала найдём объём исходной правильной шестиугольной пирамиды, а затем, используя свойства подобных тел, вычислим объём искомой усечённой пирамиды.

1. Нахождение площади основания и высоты исходной пирамиды

Основанием пирамиды является правильный шестиугольник со стороной $a = 12$ см. Площадь правильного шестиугольника можно найти по формуле, зная, что он состоит из шести равносторонних треугольников:

$S_{осн} = 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$

Подставим значение $a = 12$ см:

$S_{осн} = \frac{3 \cdot 12^2 \sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 144 \sqrt{3}}{2} = 3 \cdot 72 \sqrt{3} = 216\sqrt{3}$ см$^2$.

Двугранный угол при ребре основания равен $60°$. Этот угол образуется высотой пирамиды $H$ и апофемой боковой грани, проведённой к ребру основания. Проекцией апофемы боковой грани на основание является апофема основания (радиус вписанной в шестиугольник окружности, $r$).

Апофему основания $r$ найдём по формуле для правильного шестиугольника:

$r = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{12\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, апофемой основания $r$ и апофемой боковой грани. В этом треугольнике $r$ является прилежащим катетом к углу $60°$, а $H$ — противолежащим. Тогда:

$\tan(60°) = \frac{H}{r}$

$H = r \cdot \tan(60°) = 6\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 6 \cdot 3 = 18$ см.

2. Нахождение объёма исходной пирамиды

Объём пирамиды $V$ вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$

Подставим найденные значения:

$V = \frac{1}{3} \cdot 216\sqrt{3} \cdot 18 = 72\sqrt{3} \cdot 18 = 1296\sqrt{3}$ см$^3$.

3. Нахождение объёма усечённой пирамиды

Высота пирамиды разделена на 3 равные части. Через точки деления проведены плоскости, параллельные основанию. Эти плоскости отсекают от исходной пирамиды две меньшие пирамиды, подобные исходной.

Пусть высота исходной пирамиды $H=18$ см. Точки деления находятся на высотах $H_1 = \frac{1}{3}H = \frac{18}{3} = 6$ см и $H_2 = \frac{2}{3}H = \frac{18 \cdot 2}{3} = 12$ см, если считать от вершины.

Искомая усечённая пирамида заключена между этими двумя плоскостями. Её объём $V_{усеч}$ можно найти как разность объёмов двух пирамид: пирамиды с высотой $H_2$ и пирамиды с высотой $H_1$.

Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия (в данном случае, отношения высот).

Объём меньшей пирамиды (с высотой $H_1$):

$V_1 = V \cdot (\frac{H_1}{H})^3 = V \cdot (\frac{1}{3})^3 = \frac{V}{27}$

Объём средней пирамиды (с высотой $H_2$):

$V_2 = V \cdot (\frac{H_2}{H})^3 = V \cdot (\frac{2}{3})^3 = \frac{8V}{27}$

Объём усечённой пирамиды, заключённой между плоскостями:

$V_{усеч} = V_2 - V_1 = \frac{8V}{27} - \frac{V}{27} = \frac{7V}{27}$

Подставим значение объёма исходной пирамиды $V = 1296\sqrt{3}$ см$^3$:

$V_{усеч} = \frac{7 \cdot 1296\sqrt{3}}{27} = 7 \cdot 48\sqrt{3} = 336\sqrt{3}$ см$^3$.

Ответ: $336\sqrt{3}$ см$^3$.