Номер 24, страница 141 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 18. Формулы для вычисления объёмов пирамиды и усечённой пирамиды. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 24, страница 141.

Условие.

18.24. Основанием пирамиды является треугольник со сторонами 6 см, 25 см и 29 см. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $60^\circ$. Найдите объём пирамиды.

Решение 1.

Решение 3.

Для нахождения объема пирамиды используется формула $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $H$ — высота пирамиды. Решение задачи можно разделить на три этапа.

1. Вычисление площади основания

Основанием пирамиды является треугольник со сторонами $a = 6$ см, $b = 25$ см и $c = 29$ см. Для вычисления его площади удобно использовать формулу Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр треугольника.

Сначала найдем полупериметр $p$:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{6 + 25 + 29}{2} = \frac{60}{2} = 30$ см.

Теперь вычислим площадь основания $S_{осн}$:

$S_{осн} = \sqrt{30(30-6)(30-25)(30-29)} = \sqrt{30 \cdot 24 \cdot 5 \cdot 1} = \sqrt{3600} = 60$ см².

2. Нахождение высоты пирамиды

По условию, все двугранные углы при ребрах основания равны $60^\circ$. Это означает, что вершина пирамиды проектируется в центр окружности, вписанной в треугольник основания. В этом случае высота пирамиды $H$, радиус вписанной окружности $r$ и апофема (высота боковой грани) образуют прямоугольный треугольник. Угол между радиусом и апофемой является линейным углом двугранного угла и равен $60^\circ$.

Связь между высотой $H$, радиусом $r$ и двугранным углом $\alpha$ выражается формулой: $H = r \cdot \tan(\alpha)$.

Найдем радиус вписанной в основание окружности по формуле $r = \frac{S_{осн}}{p}$:

$r = \frac{60}{30} = 2$ см.

Теперь можем найти высоту пирамиды $H$, подставив известные значения ($r=2$ см и $\alpha = 60^\circ$):

$H = 2 \cdot \tan(60^\circ) = 2\sqrt{3}$ см.

3. Расчет объема пирамиды

Подставим найденные значения площади основания ($S_{осн} = 60$ см²) и высоты ($H = 2\sqrt{3}$ см) в формулу для объема пирамиды:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 60 \cdot 2\sqrt{3} = 20 \cdot 2\sqrt{3} = 40\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $40\sqrt{3}$ см³.