Номер 29, страница 141 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 18. Формулы для вычисления объёмов пирамиды и усечённой пирамиды. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 29, страница 141.

Условие.

18.29. На рисунке 18.10 изображён бункер для зерна, имеющий форму правильной четырёхугольной усечённой пирамиды (размеры на рисунке даны в сантиметрах). Сколько тонн зерна можно засыпать в такой бункер, если масса 1 м3 зерна составляет 800 кг?

Рис. 18.10

Решение 1.

Решение 3.

Для решения задачи сначала необходимо вычислить объем бункера, имеющего форму правильной четырехугольной усеченной пирамиды. Затем, зная объем и массу 1 м³ зерна, можно найти общую массу зерна, которую вмещает бункер.

Формула для вычисления объема усеченной пирамиды:

$V = \frac{1}{3}h(S_1 + \sqrt{S_1 S_2} + S_2)$

где $h$ — высота пирамиды, $S_1$ и $S_2$ — площади ее оснований.

Согласно данным на рисунке, размеры бункера даны в сантиметрах. Поскольку масса зерна указана для объема в кубических метрах (кг/м³), целесообразно перевести все линейные размеры в метры:

• Сторона верхнего (большего) основания: $a_1 = 250 \text{ см} = 2,5 \text{ м}$
• Сторона нижнего (меньшего) основания: $a_2 = 150 \text{ см} = 1,5 \text{ м}$
• Высота: $h = 240 \text{ см} = 2,4 \text{ м}$

Основаниями пирамиды являются квадраты. Вычислим их площади:

Площадь верхнего основания: $S_1 = a_1^2 = (2,5 \text{ м})^2 = 6,25 \text{ м}^2$.

Площадь нижнего основания: $S_2 = a_2^2 = (1,5 \text{ м})^2 = 2,25 \text{ м}^2$.

Теперь подставим полученные значения в формулу для расчета объема бункера:

$V = \frac{1}{3} \cdot 2,4 \cdot (6,25 + \sqrt{6,25 \cdot 2,25} + 2,25)$

Вычислим значение подкоренного выражения:

$\sqrt{6,25 \cdot 2,25} = \sqrt{14,0625} = 3,75 \text{ м}^2$

Продолжим вычисление объема:

$V = 0,8 \cdot (6,25 + 3,75 + 2,25)$

$V = 0,8 \cdot 12,25 = 9,8 \text{ м}^3$

Объем бункера составляет $9,8 \text{ м}^3$.

По условию задачи, масса 1 м³ зерна составляет 800 кг. Чтобы найти общую массу зерна, которое можно засыпать в бункер, умножим объем бункера на эту величину:

$m = V \cdot \rho = 9,8 \text{ м}^3 \cdot 800 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} = 7840 \text{ кг}$

В вопросе требуется указать ответ в тоннах. Учитывая, что 1 тонна = 1000 кг, переведем полученную массу в тонны:

$m = \frac{7840 \text{ кг}}{1000} = 7,84 \text{ т}$

Ответ: в такой бункер можно засыпать 7,84 тонны зерна.