Номер 25, страница 141 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 18. Формулы для вычисления объёмов пирамиды и усечённой пирамиды. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 25, страница 141.

Условие.

18.25. Основанием пирамиды является правильный треугольник со стороной $a$. Две боковые грани пирамиды перпендикулярны основанию, а третья наклонена к нему под углом $60^\circ$. Найдите объём пирамиды.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дана пирамида $SABC$, основанием которой является правильный треугольник $ABC$ со стороной $a$.

По условию, две боковые грани перпендикулярны плоскости основания. Пусть это грани $(SAB)$ и $(SAC)$. Если две пересекающиеся плоскости перпендикулярны третьей плоскости, то линия их пересечения также перпендикулярна этой плоскости. Линией пересечения граней $(SAB)$ и $(SAC)$ является боковое ребро $SA$. Следовательно, ребро $SA$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$, и его длина является высотой пирамиды $H$. Таким образом, $H = SA$.

Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

Сначала найдём площадь основания. Так как основание — правильный треугольник со стороной $a$, его площадь равна:$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Теперь найдём высоту пирамиды $H$. По условию, третья боковая грань $(SBC)$ наклонена к плоскости основания под углом $60^\circ$. Угол между плоскостью грани $(SBC)$ и плоскостью основания $(ABC)$ — это двугранный угол при ребре $BC$.

Для измерения этого угла построим его линейный угол. Проведём в плоскости основания высоту (которая также является медианой) $AM$ к стороне $BC$. Поскольку треугольник $ABC$ правильный, то $AM \perp BC$. Соединим точки $S$ и $M$. Отрезок $SM$ является наклонной к плоскости $(ABC)$, а $AM$ — её проекцией на эту плоскость. По теореме о трёх перпендикулярах, так как проекция $AM$ перпендикулярна прямой $BC$, лежащей в плоскости, то и сама наклонная $SM$ перпендикулярна этой прямой ($SM \perp BC$).Следовательно, угол $\angle SMA$ является линейным углом двугранного угла между гранью $(SBC)$ и основанием $(ABC)$. По условию задачи, $\angle SMA = 60^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SAM$ (угол $\angle SAM = 90^\circ$, так как $SA$ — высота к плоскости $(ABC)$). Длина катета $AM$ равна высоте в правильном треугольнике $ABC$ со стороной $a$:$AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Из треугольника $\triangle SAM$ найдём высоту пирамиды $H=SA$:$\tan(\angle SMA) = \frac{SA}{AM}$.Отсюда $H = SA = AM \cdot \tan(\angle SMA)$.Подставляем известные значения:$H = \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \tan(60^\circ) = \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{a \cdot 3}{2} = \frac{3a}{2}$.

Теперь, зная площадь основания и высоту, можем вычислить объём пирамиды:$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{3a}{2} = \frac{3a^3\sqrt{3}}{24} = \frac{a^3\sqrt{3}}{8}$.

Ответ: $V = \frac{a^3\sqrt{3}}{8}$.