Номер 18, страница 140 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 18. Формулы для вычисления объёмов пирамиды и усечённой пирамиды. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 18, страница 140.

Условие.

18.18. Основанием пирамиды является треугольник со сторонами $3\sqrt{10}$ см, $3\sqrt{10}$ см и 6 см. Каждое боковое ребро пирамиды равно 13 см. Найдите объём пирамиды.

Решение 1.

Решение 3.

Объём пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды. Для решения задачи нам необходимо последовательно найти площадь основания и высоту пирамиды.

1. Нахождение площади основания.

Основанием пирамиды является треугольник со сторонами $a = 3\sqrt{10}$ см, $b = 3\sqrt{10}$ см и $c = 6$ см. Так как две стороны равны, это равнобедренный треугольник. Найдём его площадь. Проведём высоту $h_c$ к основанию $c$. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также медианой, поэтому она делит основание на два равных отрезка по $c/2 = 6/2 = 3$ см.

Высоту $h_c$ можно найти по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, образованного боковой стороной (гипотенуза), высотой и половиной основания (катеты):

$h_c^2 + (c/2)^2 = a^2$

$h_c^2 + 3^2 = (3\sqrt{10})^2$

$h_c^2 + 9 = 9 \cdot 10$

$h_c^2 + 9 = 90$

$h_c^2 = 90 - 9 = 81$

$h_c = \sqrt{81} = 9$ см.

Теперь вычислим площадь основания ($S_{осн}$):

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 9 = 27$ см$^2$.

2. Нахождение высоты пирамиды.

По условию, все боковые рёбра пирамиды равны ($l = 13$ см). Это означает, что вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около треугольника основания. Обозначим радиус этой окружности как $R$.

Высота пирамиды $H$, боковое ребро $l$ и радиус описанной окружности $R$ образуют прямоугольный треугольник, в котором боковое ребро является гипотенузой. Следовательно, по теореме Пифагора:

$H^2 + R^2 = l^2$

Для нахождения высоты $H$ сначала нужно вычислить радиус $R$. Радиус окружности, описанной около треугольника, находится по формуле:

$R = \frac{abc}{4S_{осн}}$

Подставим известные значения:

$R = \frac{3\sqrt{10} \cdot 3\sqrt{10} \cdot 6}{4 \cdot 27} = \frac{9 \cdot 10 \cdot 6}{108} = \frac{540}{108} = 5$ см.

Теперь можем найти высоту пирамиды $H$ из соотношения $H^2 + R^2 = l^2$:

$H^2 + 5^2 = 13^2$

$H^2 + 25 = 169$

$H^2 = 169 - 25 = 144$

$H = \sqrt{144} = 12$ см.

3. Нахождение объёма пирамиды.

Теперь, когда у нас есть и площадь основания, и высота пирамиды, мы можем вычислить её объём:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 27 \cdot 12 = 9 \cdot 12 = 108$ см$^3$.

Ответ: $108$ см$^3$.