Номер 14, страница 140 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 18. Формулы для вычисления объёмов пирамиды и усечённой пирамиды. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 14, страница 140.

Условие.

18.14. Найдите объём правильного тетраэдра, ребро которого равно $a$.

Решение 1.

Решение 3.

Объём правильного тетраэдра можно найти по формуле объёма пирамиды: $V = \frac{1}{3} S_{осн} H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота тетраэдра.

1. Нахождение площади основания. Основанием правильного тетраэдра является равносторонний треугольник со стороной $a$. Его площадь вычисляется по формуле: $S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.

2. Нахождение высоты тетраэдра. Высота $H$ правильного тетраэдра, опущенная из вершины, падает в центр основания (который является центром описанной окружности). Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром тетраэдра (гипотенуза $a$), высотой тетраэдра (катет $H$) и радиусом описанной около основания окружности (катет $R$).

Радиус $R$ окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной $a$, равен $R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.

По теореме Пифагора найдём высоту $H$: $H^2 = a^2 - R^2 = a^2 - \left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2 = a^2 - \frac{a^2 \cdot 3}{9} = a^2 - \frac{a^2}{3} = \frac{2a^2}{3}$. Отсюда $H = \sqrt{\frac{2a^2}{3}} = \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}$.

3. Вычисление объёма. Подставим найденные значения площади основания $S_{осн}$ и высоты $H$ в формулу объёма: $V = \frac{1}{3} S_{осн} H = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a\sqrt{6}}{3} = \frac{a^3 \sqrt{18}}{36}$.

Упростим выражение, зная, что $\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$: $V = \frac{a^3 \cdot 3\sqrt{2}}{36} = \frac{a^3 \sqrt{2}}{12}$.

Ответ: $V = \frac{a^3 \sqrt{2}}{12}$